Suponha que o vetor aleatório (X, Y) tenha densidade conjunta no primeiro quadrante (0, \infty) \times(0, \infty) dada por
f(x, y)=\lambda^{2} \exp \{-\lambda(x+y)\}
onde \lambda>0 . X e Y são independentes? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade conjunta de (X,Y) no primeiro quadrante:
f(x,y)=\lambda^{2}\exp\{-\lambda(x+y)\},\quad x>0,\;y>0,
com \lambda>0. Queremos verificar se X e Y são independentes, ou seja, se é possível escrever
f(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y)
para todas as x,y>0. Para isso, vamos calcular as densidades marginais f_X e f_Y.

Passo 2

Calculemos a marginal de X integrando f(x,y) em y:
f_X(x) =\int_{0}^{\infty} \lambda^{2}\exp\{-\lambda(x+y)\}\,dy =\lambda^{2}e^{-\lambda x}\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda y}\,dy.
Como
\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda y}\,dy =\bigl[-\tfrac{1}{\lambda}e^{-\lambda y}\bigr]_{0}^{\infty} =\tfrac{1}{\lambda},
segue que
f_X(x)=\lambda^{2}e^{-\lambda x}\cdot\tfrac{1}{\lambda} =\lambda\,e^{-\lambda x},\quad x>0.
De modo análogo, a marginal de Y é
f_Y(y) =\int_{0}^{\infty}\lambda^{2}e^{-\lambda(x+y)}\,dx =\lambda\,e^{-\lambda y},\quad y>0.

Passo 3

Multiplicando as marginais, obtemos
f_X(x)\,f_Y(y) =\bigl(\lambda e^{-\lambda x}\bigr)\bigl(\lambda e^{-\lambda y}\bigr) =\lambda^{2}e^{-\lambda(x+y)} =f(x,y).
Isso vale para todos x>0 e y>0. Como a densidade conjunta se factoriza em produto das marginais, concluímos independência.

Resposta

Sim. X e Y são independentes, pois
f(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y)
para todo x,y>0.

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