Suponha que o vetor aleatório
tenha densidade conjunta no primeiro quadrante
dada por
onde
e
são independentes? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá a densidade conjunta de
no primeiro quadrante:
com
. Queremos verificar se
e
são independentes, ou seja, se é possível escrever
para todas as
. Para isso, vamos calcular as densidades marginais
e
.
Passo 2
Calculemos a marginal de
integrando
em
:
Como
segue que
De modo análogo, a marginal de
é
Passo 3
Multiplicando as marginais, obtemos
Isso vale para todos
e
. Como a densidade conjunta se factoriza em produto das marginais, concluímos independência.
Resposta
Sim.
e
são independentes, pois
para todo
.