Seja (X, Y, Z) um vetor aleatório tendo distribuição uniforme no parabolóide
C=\left\{(x, y, z): 0<z<4, x^{2}+y^{2}<z\right\}
Usando a transformação x=r \cos \theta, y=r \operatorname{sen} \theta,
(a) obtenha o valor da densidade no parabolóide;
(b) determine P\left(X^{2}+Y^{2}<1\right).
Passo 1
O enunciado diz que (X,Y,Z) é uniformemente distribuído sobre o sólido
C=\{(x,y,z)\mid 0<z<4,\;x^2+y^2<z\}.
Para achar a densidade constante f_{X,Y,Z} precisamos calcular o volume de C. Depois, para P(X^2+Y^2<1), vamos integrar essa densidade na região \{x^2+y^2<1\}\cap C. Usaremos coordenadas cilíndricas x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z.