Seja (X, Y, Z) um vetor aleatório tendo distribuição uniforme no parabolóide
C=\left\{(x, y, z): 0<z<4, x^{2}+y^{2}<z\right\}
Usando a transformação x=r \cos \theta, y=r \operatorname{sen} \theta,
(a) obtenha o valor da densidade no parabolóide;
(b) determine P\left(X^{2}+Y^{2}<1\right).

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y,Z) é uniformemente distribuído sobre o sólido
C=\{(x,y,z)\mid 0<z<4,\;x^2+y^2<z\}.
Para achar a densidade constante f_{X,Y,Z} precisamos calcular o volume de C. Depois, para P(X^2+Y^2<1), vamos integrar essa densidade na região \{x^2+y^2<1\}\cap C. Usaremos coordenadas cilíndricas x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas o volume de C é
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=0}^{4}\int_{r=0}^{\sqrt{z}} r\,dr\,dz\,d\theta.
Primeiro a integral em r
\int_{r=0}^{\sqrt{z}}r\,dr=\frac{z}{2}.
Então
\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{4}\frac{z}{2}\,dz =2\pi\cdot\frac12\int_{0}^{4}z\,dz =\pi\left[\frac{z^2}{2}\right]_{0}^{4} =\pi\cdot\frac{16}{2} =8\pi.

Passo 3

Como o volume de C vale 8\pi, a densidade uniforme em C é
f_{X,Y,Z}(x,y,z) =\begin{cases} \displaystyle \frac1{8\pi},&0<z<4,\;x^2+y^2<z,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á
Isto responde a parte (a).

Passo 4

Para P(X^2+Y^2<1) integramos f sobre \{r<1,\;r^2<z<4\}. Em cilíndricas:
P(X^2+Y^2<1) =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=r^2}^{4} \frac1{8\pi}\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Fazendo \theta e z:
\frac1{8\pi}\;2\pi\;\int_{0}^{1}r\,(4-r^2)\,dr =\frac1{4}\int_{0}^{1}(4r-r^3)\,dr =\frac1{4}\Bigl[2r^2-\tfrac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\frac1{4}\Bigl(2-\tfrac14\Bigr) =\frac{7}{16}.

Resposta

A densidade é
f_{X,Y,Z}(x,y,z)=\frac1{8\pi}\quad\text{se }0<z<4,\;x^2+y^2<z,
e zero caso contrário.
Além disso,
P(X^2+Y^2<1)=\frac{7}{16}.

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