(2pt) Calcule \int_{0}^{1} \int_{z}^{x^{2}} \int_{0}^{x y^{3}}\left(18 x^{3} y^{2} z^{2}\right) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{2}}\int_{0}^{x y^{3}}\left(18x^{3}y^{2}z^{2}\right)\,dz\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A variável externa é x com 0\le x\le1.
  • A variável do meio é y com 0\le y\le x^{2}.
  • A variável interna é z com 0\le z\le x y^{3}.
  • O integrando é 18x^{3}y^{2}z^{2}.
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral tripla. A integral está escrita na ordem dz\,dy\,dx; portanto integra-se primeiro em z, depois y e por fim x.

Passo 2

Estratégia e lembrete de regras básicas:
  • Quando integrarmos em z, tratamos x e y como constantes (porque a integração é em relação a z).
  • Regra do poder para integrais indefinidas: para n\neq -1,
\int z^{n}\,dz=\frac{z^{n+1}}{n+1}.
  • Constantes multiplicativas saem da integral: \int c\cdot f(z)\,dz = c\int f(z)\,dz.
  • Vamos aplicar a integração iterativamente: primeiro calcular a primitiva em z e avaliar entre os limites, obter uma função de x,y; depois integrar em y; por fim integrar em x.

Passo 3

Calcular a integral interna em z:
\int_{0}^{x y^{3}} 18x^{3}y^{2}z^{2}\,dz.
Trata-se de 18x^{3}y^{2} como constante multiplicativa em relação a z. Aplicando a regra do poder com n=2:
\int z^{2}\,dz=\frac{z^{3}}{3}.
Logo
\int_{0}^{x y^{3}} 18x^{3}y^{2}z^{2}\,dz =18x^{3}y^{2}\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{x y^{3}} =18x^{3}y^{2}\cdot\frac{(x y^{3})^{3}}{3}.
Calculemos (x y^{3})^{3}=x^{3}y^{9}. Portanto
18x^{3}y^{2}\cdot\frac{x^{3}y^{9}}{3}= \left(\frac{18}{3}\right)x^{6}y^{11}=6x^{6}y^{11}.
Agora a integral tripla reduz-se a
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{2}} 6x^{6}y^{11}\,dy\,dx.

Passo 4

Integrar em y. Aqui x é tratado como constante. Aplicando a regra do poder com n=11:
\int y^{11}\,dy=\frac{y^{12}}{12}.
Então
\int_{0}^{x^{2}}6x^{6}y^{11}\,dy =6x^{6}\left[\frac{y^{12}}{12}\right]_{0}^{x^{2}} =6x^{6}\cdot\frac{(x^{2})^{12}}{12}.
Calculemos (x^{2})^{12}=x^{24}. Simplificando os coeficientes 6/12=1/2, obtemos
\frac{1}{2}x^{6}\cdot x^{24}=\frac{1}{2}x^{30}.
Agora resta a integral em x:
\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^{30}\,dx.

Passo 5

Integrar em x. Usando a regra do poder com n=30:
\int x^{30}\,dx=\frac{x^{31}}{31}.
Portanto
\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^{30}\,dx=\frac{1}{2}\left[\frac{x^{31}}{31}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1^{31}-0}{31}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{31}=\frac{1}{62}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{62}

Exercícios relacionados