(2pt) Use integrais triplas em coordenadas cilindricas para calcular o volume da região limitada superiormente pelo plano z=3 e inferiormente pelo parabolóide z=x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá duas superfícies que limitam uma região no espaço:
    • limite superior: z=3,
    • limite inferior: z=x^{2}+y^{2} (parabolóide).
  • Pede o volume da região entre essas superfícies (a porção do espaço com x^{2}+y^{2}\le z\le 3).
  • Informação útil imediata: a interseção entre as duas superfícies satisfaz x^{2}+y^{2}=3, portanto a projeção da região no plano xy é o disco centrado na origem com raio \sqrt{3}.

Passo 2

Por que usar coordenadas cilíndricas e como elas são definidas:
  • As superfícies envolvem x^{2}+y^{2}, então é natural usar coordenadas cilíndricas onde isso vira r^{2}.
  • Definição das coordenadas cilíndricas: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,onde r\ge0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo polar.
  • Elemento de volume em coordenadas cilíndricas: ao passar de (x,y,z) para (r,\theta,z) aparece o fator Jacobiano r. Assim dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Regra prática: para volume, integra-se a função 1 sobre a região usando dV=r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Determinar os limites das integrais:
  • Para um dado (r,\theta) fixo a coordenada z varia do parabolóide até o plano: z \in [r^{2},\,3].
  • Como a projeção no plano xy é o disco x^{2}+y^{2}\le 3, em coordenadas cilíndricas isso é 0\le r\le\sqrt{3} e \theta percorre toda a volta: 0\le\theta\le2\pi.
  • Resumo dos limites: 0\le\theta\le2\pi,\qquad 0\le r\le\sqrt{3},\qquad r^{2}\le z\le 3.

Passo 4

Montar a integral tripla para o volume:
  • Como queremos o volume, integrande é 1. Em cilíndricas: V=\iiint_{D} 1\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{3}}\int_{z=r^{2}}^{3} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Fazer a integração na variável z (a integral interna):
  • Integrando r em relação a z: \int_{z=r^{2}}^{3} r\,dz = r\big[z\big]_{z=r^{2}}^{z=3} = r(3-r^{2}).
  • Logo a integral fica V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}} r(3-r^{2})\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em r:
  • Expandir e integrar termo a termo: \int_{0}^{\sqrt{3}} r(3-r^{2})\,dr = \int_{0}^{\sqrt{3}} (3r - r^{3})\,dr.
  • Primitivas: \int 3r\,dr = \tfrac{3}{2}r^{2},\qquad \int r^{3}\,dr = \tfrac{1}{4}r^{4}.
  • Avaliando nos limites: \left[\tfrac{3}{2}r^{2}-\tfrac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{\sqrt{3}} = \tfrac{3}{2}(\sqrt{3})^{2}-\tfrac{1}{4}(\sqrt{3})^{4} = \tfrac{3}{2}\cdot 3 - \tfrac{1}{4}\cdot 9 = \tfrac{9}{2}-\tfrac{9}{4} = \tfrac{9}{4}.

Passo 7

Calcular a integral em \theta e obter a expressão final antes da seção de resposta:
  • Agora V=\int_{0}^{2\pi} \tfrac{9}{4}\,d\theta = \tfrac{9}{4}\cdot\big[ \theta \big]_{0}^{2\pi} = \tfrac{9}{4}\cdot 2\pi.

Resposta

\dfrac{9\pi}{2}

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