(2pt) Use integrais triplas em coordenadas cilindricas para calcular o volume da região limitada superiormente pelo plano
e inferiormente pelo parabolóide
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá duas superfícies que limitam uma região no espaço:
- limite superior:
, - limite inferior:
(parabolóide).
- limite superior:
- Pede o volume da região entre essas superfícies (a porção do espaço com
). - Informação útil imediata: a interseção entre as duas superfícies satisfaz
, portanto a projeção da região no plano é o disco centrado na origem com raio .
Passo 2
Por que usar coordenadas cilíndricas e como elas são definidas:
- As superfícies envolvem
, então é natural usar coordenadas cilíndricas onde isso vira . - Definição das coordenadas cilíndricas:
onde é a distância ao eixo e é o ângulo polar. - Elemento de volume em coordenadas cilíndricas: ao passar de
para aparece o fator Jacobiano . Assim - Regra prática: para volume, integra-se a função
sobre a região usando .
Passo 3
Determinar os limites das integrais:
- Para um dado
fixo a coordenada varia do parabolóide até o plano: - Como a projeção no plano
é o disco , em coordenadas cilíndricas isso é e percorre toda a volta: . - Resumo dos limites:
Passo 4
Montar a integral tripla para o volume:
- Como queremos o volume, integrande é
. Em cilíndricas:
Passo 5
Fazer a integração na variável
(a integral interna):
- Integrando
em relação a : - Logo a integral fica
Passo 6
Calcular a integral em
:
- Expandir e integrar termo a termo:
- Primitivas:
- Avaliando nos limites:
Passo 7
Calcular a integral em
e obter a expressão final antes da seção de resposta:
- Agora