[2pt] Encontre uma equação da reta tangente à curva
\sqrt{x}+\sqrt{y^{3}}=2
no ponto (x, y)=(1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida implicitamente por \sqrt{x}+\sqrt{y^3}=2 e pede a reta tangente no ponto (1,1). O conteúdo principal é derivação implícita (para obter y') e, em seguida, usar a fórmula ponto-declive para a reta tangente.

Passo 2

Derivamos ambos os lados da equação em relação a x.
Para \sqrt{x},
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Para \sqrt{y^3}=y^{3/2}, aplicamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}y^{3/2}=\frac{3}{2}y^{1/2}\,\frac{dy}{dx} =\frac{3}{2}\sqrt{y}\,\frac{dy}{dx}.
Logo, derivando a soma e igualando a zero, temos
\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{3}{2}\sqrt{y}\,\frac{dy}{dx}=0.

Passo 3

Isolamos \frac{dy}{dx}:
\frac{3}{2}\sqrt{y}\,\frac{dy}{dx} =-\frac{1}{2\sqrt{x}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} =-\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\frac{2}{3\sqrt{y}} =-\frac{1}{3\sqrt{x\,y}}.
No ponto (1,1), isso fica
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,1)} =-\frac{1}{3\sqrt{1\cdot1}} =-\frac{1}{3}.

Passo 4

A reta tangente no ponto (x_0,y_0)=(1,1) com coeficiente angular m=-\tfrac{1}{3} é dada pela forma ponto-declive:
y-1=-\tfrac{1}{3}(x-1).
Em forma explícita,
y=-\tfrac{1}{3}x+\tfrac{4}{3}.

Resposta

y-1=-\tfrac{1}{3}(x-1)
ou y=-\tfrac{1}{3}x+\tfrac{4}{3}

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