[3pt] Encontre os máximos e mínimos absolutos da função
f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\operatorname{sen}\left(\frac{x^{2}+x}{10}\right)

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de uma função contínua em [-1,1],
f(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{x^2+x}{10}\bigr).
Como estamos num intervalo fechado e f é contínua, pelo Teorema de Weierstrass os extremos absolutos ocorrem em pontos críticos (onde f'=0 ou f' não existe) ou nas extremidades x=-1,1. Vamos encontrar f' e seguir esse plano.

Passo 2

Usamos a regra da cadeia para derivar f(x)=\operatorname{sen}(u) com u=(x^2+x)/10. Temos
u'=\frac{2x+1}{10},
portanto
f'(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{x^2+x}{10}\bigr)\cdot\frac{2x+1}{10}.
Os pontos críticos satisfazem
\cos\!\bigl(\tfrac{x^2+x}{10}\bigr)\,\frac{2x+1}{10}=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos\!\bigl(\tfrac{x^2+x}{10}\bigr)=0 \quad\text{ou}\quad 2x+1=0.

Passo 3

Primeiro 2x+1=0 x=-\tfrac12. Agora, \cos((x^2+x)/10)=0 implicaria
\frac{x^2+x}{10}=\frac\pi2+k\pi,
isto é x^2+x=5\pi+10k\pi. Mas em [-1,1] temos
x^2+x\in\bigl[-\tfrac14,2\bigr],
logo não existe solução dessa equação pois 5\pi\approx15{,}7 está fora desse intervalo. Assim há só um ponto crítico: x=-\tfrac12.

Passo 4

Agora avaliamos f em x=-1, x=-\tfrac12 e x=1:
f(-1)=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{(-1)^2+(-1)}{10}\bigr)=\operatorname{sen}(0)=0,
f\bigl(-\tfrac12\bigr) =\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\tfrac14-\tfrac12}{10}\Bigr) =\operatorname{sen}\!\bigl(-\tfrac1{40}\bigr) =-\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1{40}\bigr),
f(1)=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1+1}{10}\bigr) =\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1{5}\bigr).

Passo 5

Comparemos os valores:
-\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1{40}\bigr)<0<\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1{5}\bigr).
Logo o menor valor é -\operatorname{sen}(\tfrac1{40}) em x=-\tfrac12 e o maior é \operatorname{sen}(\tfrac1{5}) em x=1.

Resposta

O mínimo absoluto é
f\bigl(-\tfrac12\bigr)=-\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1{40}\bigr),
ocorrendo em x=-\tfrac12.
O máximo absoluto é
f(1)=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1{5}\bigr),
ocorrendo em x=1.

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