[3 \mathbf{p t}]. Dada a função f(x)=1+x e^{-x}
(a) Determine o domínio.
(b) Calcule as derivadas de 1a e 2a ordem.
(c) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos locais.

Passo 1

O enunciado nos pede o domínio, as derivadas de primeira e segunda ordem, e a análise de onde a função cresce, decresce e tem extremos locais para a função f(x)=1+x e^{-x}. Vamos usar derivação por produto, estudo do sinal de f' e identificação de extremos.

Passo 2

Para o domínio, observamos que e^{-x} está definida para todo x\in\mathbb{R}, assim a soma e o produto também estão definidos em toda reta. Logo,
\text{Domínio}(f)=\mathbb{R}.í

Passo 3

Aplicando a regra do produto em x e^{-x} e sabendo que \tfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}, temos
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(1\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(x e^{-x}\bigr) = 0 + \bigl(1\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x})\bigr) = e^{-x}-x e^{-x} = e^{-x}(1-x).

Passo 4

Para a segunda derivada, derivamos f'(x)=e^{-x}(1-x) usando produto novamente:
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr)(1-x) + e^{-x}\frac{d}{dx}(1-x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = -e^{-x}(2-x) = e^{-x}(x-2).

Passo 5

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0. Como e^{-x}>0 para todo x, basta
1-x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
Não há descontinuidades, então o único crítico é x=1.

Passo 6

O sinal de f'(x)=e^{-x}(1-x) é o mesmo de (1-x).
Se x<1, então 1-x>0 e f'>0, logo f cresce em (-\infty,1).
Se x>1, então 1-x<0 e f'<0, logo f decresce em (1,\infty).
Como f' muda de positivo para negativo em x=1, há um máximo local aí.
O valor desse máximo é
f(1)=1+1\cdot e^{-1}=1+e^{-1}.

Resposta

(a) Domínio: \mathbb{R}.
(b) f'(x)=e^{-x}(1-x) e f''(x)=e^{-x}(x-2).
(c) f cresce em (-\infty,1) e decresce em (1,\infty). Tem máximo local em x=1 com valor f(1)=1+e^{-1}.

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