. Dada a função
(a) Determine o domínio.
(b) Calcule as derivadas de 1a e 2a ordem.
(c) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos locais.
(a) Determine o domínio.
(b) Calcule as derivadas de 1a e 2a ordem.
(c) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos locais.
Passo 1
O enunciado nos pede o domínio, as derivadas de primeira e segunda ordem, e a análise de onde a função cresce, decresce e tem extremos locais para a função
. Vamos usar derivação por produto, estudo do sinal de
e identificação de extremos.
Passo 2
Para o domínio, observamos que
está definida para todo
, assim a soma e o produto também estão definidos em toda reta. Logo,
Passo 3
Aplicando a regra do produto em
e sabendo que
, temos
Passo 4
Para a segunda derivada, derivamos
usando produto novamente:
Passo 5
Os pontos críticos vêm de
. Como
para todo
, basta
Não há descontinuidades, então o único crítico é
.
Passo 6
O sinal de
é o mesmo de
.
Se , então
e
, logo
cresce em
.
Se , então
e
, logo
decresce em
.
Como muda de positivo para negativo em
, há um máximo local aí.
O valor desse máximo é
Se
Se
Como
O valor desse máximo é
Resposta
(a) Domínio:
.
(b) e
.
(c) cresce em
e decresce em
. Tem máximo local em
com valor
.
(b)
(c)