Considere a região limitada pelas curvas y=-3 x^{2}+15 x-6 e y=3 x. Determine o VOLUME do sólido obtido pela revolução desta região em torno do eixo \boldsymbol{x}.
Sugestão: revise as notas e vídeo-aulas na aba “Semana 5”, e as vídeo-aulas do Prof. Pedrosa.
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar “5/300”
  • ou 13.07976 para representar
    2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) “2ln(10)+3pi*(9-exp(2))-3*sqrt(5)” diretamente no Google por exemplo)
Volume V= \square

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas
y_1(x) = -3x^2 + 15x - 6
e
y_2(x) = 3x.
O método apropriado é o dos discos (ou anéis):
V = \pi \int_{a}^{b} \bigl[\bigl(y_{\text{outer}}(x)\bigr)^2 - \bigl(y_{\text{inner}}(x)\bigr)^2\bigr]\,dx.

Passo 2

Primeiro determinamos os pontos de interseção, resolvendo
-3x^2 + 15x - 6 \;=\; 3x \quad\Longrightarrow\quad -3x^2 + 12x - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 4x + 2 = 0.
As raízes são
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} \;=\; 2 \pm \sqrt{2}.
Logo os limites de integração são a = 2 - \sqrt{2} e b = 2 + \sqrt{2}.

Passo 3

Para x=2 verifica-se
y_1(2) = -3\cdot 4 + 30 - 6 = 12, \quad y_2(2) = 6,
portanto y_1(x) está acima de y_2(x) em [a,b]. Ambas são positivas nesse intervalo, de modo que
y_{\text{outer}}(x) = -3x^2 + 15x - 6, \quad y_{\text{inner}}(x) = 3x.

Passo 4

O volume é
V = \pi \int_{2 - \sqrt{2}}^{2 + \sqrt{2}} \Bigl[\bigl(-3x^2 + 15x - 6\bigr)^2 - \bigl(3x\bigr)^2\Bigr]\,dx.

Passo 5

Expandindo as quadraturas,
\bigl(-3x^2 + 15x - 6\bigr)^2 = 9x^4 - 90x^3 + 261x^2 - 180x + 36, \quad (3x)^2 = 9x^2,
então o integrando fica
9x^4 - 90x^3 + 252x^2 - 180x + 36.

Passo 6

Para aproveitar a simetria em torno de x=2, faça x = 2 + t. Então t varia de -\sqrt{2} a \sqrt{2} e o polinômio em t é
9t^4 - 18t^3 - 72t^2 + 36t + 108.
Como os termos ímpares integram zero em [-\,\sqrt{2},\sqrt{2}], resta integrar apenas
9t^4 - 72t^2 + 108
de -\sqrt{2} a \sqrt{2}.

Passo 7

Calculando cada parte:
\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 9t^4 dt = 2\cdot 9\cdot \frac{(\sqrt{2})^5}{5} = \frac{72\sqrt{2}}{5},
\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-72t^2) dt = 2\cdot (-72)\cdot \frac{(\sqrt{2})^3}{3} = -96\sqrt{2},
\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 108\,dt = 108 \cdot 2\sqrt{2} = 216\sqrt{2}.
Somando dá
\frac{72\sqrt{2}}{5} - 96\sqrt{2} + 216\sqrt{2} = \frac{672\sqrt{2}}{5}.
Multiplicando por \pi, obtemos
V = \pi \;\frac{672\sqrt{2}}{5}.

Resposta

V = \frac{672\pi\sqrt{2}}{5} \approx 597.1235

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