|2pt| Calcule o limite abaixo (justifique!)
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{7 x^{4}+4 x^{3}}{14 x^{4}+2 x^{3}+x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0}\frac{7x^{4}+4x^{3}}{14x^{4}+2x^{3}+x},
que é um caso de indeterminação \tfrac{0}{0}. O conteúdo utilizado será limites de funções racionais, fatoração de polinômios e propriedades de limite de produto e quociente.

Passo 2

Fatoramos os polinômios para retirar o menor grau de x em cada um. No numerador o menor expoente é 3, no denominador é 1. Assim,
7x^{4}+4x^{3}=x^{3}(7x+4),
14x^{4}+2x^{3}+x=x\,(14x^{3}+2x^{2}+1).

Passo 3

Substituindo na fração e simplificando o fator comum x, obtemos
\frac{7x^{4}+4x^{3}}{14x^{4}+2x^{3}+x} =\frac{x^{3}(7x+4)}{x\,(14x^{3}+2x^{2}+1)} =x^{2}\,\frac{7x+4}{14x^{3}+2x^{2}+1}.

Passo 4

Agora aplicamos limite em cada parte, usando que a soma, produto e quociente de limites existem quando os limites individuais existem e o denominador não se anula:
\lim_{x\to0}x^{2}=0, \qquad \lim_{x\to0}\frac{7x+4}{14x^{3}+2x^{2}+1} =\frac{4}{1}=4.
Logo,
\lim_{x\to0}x^{2}\,\frac{7x+4}{14x^{3}+2x^{2}+1} =0\cdot4=0.

Resposta

0

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