(2pt) - EXTRA - As coordenadas elipsoidais são definidas pela fórmula:
r(rho, phi, theta)=(a rho sen phi cos theta, b rho sen phi sen theta, c rho cos phi)
Podemos usar coordenadas elipsoidais para calcular, por exemplo, o volume do interior do elipsóde
U=(x, y, z) in R^3 | x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1
Neste sistema 0 <= rho <= 1,0 <= phi <= pi e 0 <= theta <= 2 pi
a) Verifique que a matriz jacobiana do sistema de coordenadas elipsoidais é dado por
J(rho, phi, theta)=a b c rho^2 sen phi
b) Calcule o volume do interior do elipsóide
U=(x, y, z) in R^3 | x^24+y^29+z^2=1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, verificar o Jacobiano da transformação de coordenadas elipsoidais e, depois, usar esse Jacobiano para calcular o volume do elipsóide U:,x^2/4 + y^2/9 + z^2 =1. O conteúdo envolve mudança de variável em integrais múltiplas, cálculo de determinante (Jacobian) e a fórmula de volume via coordenadas elipsoidais.

Passo 2

Para achar o Jacobiano J(rho,phi,theta), note que a transformação r(rho,phi,theta)=(arhosinphicostheta,,brhosinphisintheta,,crhocosphi) pode ser escrita como r=D,s(rho,phi,theta), onde D=diag(a,b,c) e s é a transformação esférica usual. Assim

Passo 3

J(rho,phi,theta)=detl(Dr)cdotdetl(partial s/partial(rho,phi,theta)r)=a,b,ctimesl(rho^2sinphir)=a,b,c,rho^2sinphi

Passo 4

Para o volume do elipsóide usamos a integral tripla

Passo 5

V=integral triplaUdV=integral0^2pi!integral0^pi!integral0^1J(rho,phi,theta),drho,dphi,dtheta

Passo 6

Substituindo J=a b c,rho^2sinphi e integrando:

Passo 7

integral0^1rho^2,drho=tfrac13,integral0^pisinphi,dphi=2,integral0^2pidtheta=2pi

Passo 8

Portanto

Passo 9

V=a b ctimestfrac13times2times2pi=tfrac4pi,a b c3

Passo 10

No caso do elipsóide x^2/4+y^2/9+z^2=1 temos a=2,,b=3,,c=1, logo

Passo 11

V=tfrac4pi,(2)(3)(1)3=8pi

Resposta

8\pi

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