(2pt) - EXTRA - As coordenadas elipsoidais são definidas pela fórmula:
Podemos usar coordenadas elipsoidais para calcular, por exemplo, o volume do interior do elipsóde
Neste sistema
e
a) Verifique que a matriz jacobiana do sistema de coordenadas elipsoidais é dado por
b) Calcule o volume do interior do elipsóide
a) Verifique que a matriz jacobiana do sistema de coordenadas elipsoidais é dado por
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, verificar o Jacobiano da transformação de coordenadas elipsoidais e, depois, usar esse Jacobiano para calcular o volume do elipsóide
. O conteúdo envolve mudança de variável em integrais múltiplas, cálculo de determinante (Jacobian) e a fórmula de volume via coordenadas elipsoidais.
Passo 2
Para achar o Jacobiano
, note que a transformação
pode ser escrita como
, onde
e
é a transformação esférica usual. Assim
Passo 3
Passo 4
Para o volume do elipsóide usamos a integral tripla
Passo 5
Passo 6
Substituindo
e integrando:
Passo 7
Passo 8
Portanto
Passo 9
Passo 10
No caso do elipsóide
temos
, logo
Passo 11
Resposta
8\pi