2^circ ) Termo geral de uma PG - Uma progressão geométrica (P G) é uma sequência (an), tal que a1 in R e an+1=an q para n >= 1 e q in R. Mostre que, nessas condições, an=a1 cdot q^n-1 para todo n in N.

Passo 1

O enunciado define uma progressão geométrica (an) com a1inR e, para todo n>=1,
an+1=ancdot q,
sendo qinR a razão. Queremos mostrar, usando o princípio da indução matemática, que
an=a1cdot q^,n-1
para todo ninN.

Passo 2

Base da indução ( n=1): pela fórmula proposta teríamos
a1stackrel?=a1cdot q^,1-1=a1cdot q^0=a1cdot1=a1,
o que é verdade. Logo, vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para um certo k>=1, já seja verdade que
ak=a1cdot q^,k-1

Passo 4

Passo indutivo ( n=k+1): usando a relação de recorrência e a hipótese,
ak+1=akcdot q =(a1cdot q^,k-1)cdot q =a1cdot q^,k-1+1 =a1cdot q^,k,
que coincide com a fórmula para n=k+1.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, a fórmula
an=a1cdot q^,n-1
vale para todo ninN.

Resposta

Para todo ninN, an=a1cdot q^n-1.

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