) Termo geral de uma PG - Uma progressão geométrica
é uma sequência
, tal que
e
para
e
. Mostre que, nessas condições,
para todo
.
Passo 1
O enunciado define uma progressão geométrica
com
e, para todo
,
sendo
a razão. Queremos mostrar, usando o princípio da indução matemática, que
para todo
.
Passo 2
Base da indução (
): pela fórmula proposta teríamos
o que é verdade. Logo, vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para um certo
, já seja verdade que
Passo 4
Passo indutivo (
): usando a relação de recorrência e a hipótese,
que coincide com a fórmula para
.
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, a fórmula
vale para todo
.
Resposta
Para todo
,
.