Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
(l) div(rot(grad(f)))

Passo 1

O enunciado quer saber se faz sentido compor as três operações de cálculo vetorial
grad, rot e div na ordem
divl(rot(grad(f))r)
O conteúdo aqui é cálculo vetorial em R^3. Para resolver, precisamos lembrar o que cada operador faz e as identidades usuais entre eles.

Passo 2

Aplicamos primeiro a operação grad a um campo escalar f. Por definição,
grad(f)=nabla f
é um campo vetorial cuja componente i é partiali f. Logo, até aqui tudo faz sentido e o resultado é um campo vetorial.

Passo 3

Em seguida, aplicamos rot (ou nablatimes) ao campo vetorial nabla f. Isso também é bem definido, pois o rot atua sobre campos vetoriais. Porém existe a identidade fundamental
nablatimes(nabla f)=0,
ou seja, o rot do gradiente de qualquer função suficientemente suave é o campo vetorial nulo.

Passo 4

Finalmente, aplicamos div (ou nablacdot) ao resultado do passo anterior. Como o argumento é o campo vetorial nulo 0, temos
div(0)=0
A operação div em um campo vetorial gera um campo escalar, aqui constante e igual a zero.

Resposta

A expressão é significativa e o resultado é um campo escalar identicamente zero.

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