Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
(l)
(l)
Passo 1
O enunciado quer saber se faz sentido compor as três operações de cálculo vetorial
,
e
na ordem
O conteúdo aqui é cálculo vetorial em
. Para resolver, precisamos lembrar o que cada operador faz e as identidades usuais entre eles.
Passo 2
Aplicamos primeiro a operação
a um campo escalar
. Por definição,
é um campo vetorial cuja componente
é
. Logo, até aqui tudo faz sentido e o resultado é um campo vetorial.
Passo 3
Em seguida, aplicamos
(ou
) ao campo vetorial
. Isso também é bem definido, pois o rot atua sobre campos vetoriais. Porém existe a identidade fundamental
ou seja, o rot do gradiente de qualquer função suficientemente suave é o campo vetorial nulo.
Passo 4
Finalmente, aplicamos
(ou
) ao resultado do passo anterior. Como o argumento é o campo vetorial nulo
, temos
A operação div em um campo vetorial gera um campo escalar, aqui constante e igual a zero.
Resposta
A expressão é significativa e o resultado é um campo escalar identicamente zero.