Seja
um subespaço. Obtenha uma base para W e a dimensão de W .
Passo 1
O enunciado nos dá o subconjunto
O que isso significa em palavras: os polinômios de grau até
em
têm termo constante igual a zero, ou seja são da forma
.
As perguntas do exercício são:
- Obter uma base para
. - Determinar a dimensão de
.
Passo 2
Primeiro vamos entender claramente o que significa “ser uma base”. Uma base de um subespaço
é um conjunto de vetores (aqui: polinômios) que satisfaz dois requisitos:
- Geram
: todo vetor de pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base (isso se chama “spanning” ou “geram”). - São linearmente independentes: nenhuma combinação linear não-trivial deles resulta no polinômio zero.
Vou mostrar passo a passo como encontrar um conjunto que satisfaça esses dois requisitos para
.
Passo 3
Escrevendo um elemento genérico de
. Como o enunciado impõe
, um polinômio arbitrário de
tem a forma
Aqui
e
são números reais quaisquer. Note que não aparece termo constante nem termo de grau maior que
.
Passo 4
Mostrando que
gera
. Qualquer
pode ser reescrito como
Isto é exatamente uma combinação linear dos polinômios
e
. Portanto qualquer elemento de
é combinação linear de
e
, logo
Concluímos que
é um conjunto gerador de
.
Passo 5
Mostrando que
é linearmente independente. Para provar independência linear, suponha que existam escalares
tais que
onde
é o polinômio nulo (o polinômio cujo coeficiente de cada potência de
é zero). Dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes correspondentes de cada potência de
são iguais. Comparando coeficientes no lado esquerdo e no polinômio nulo, obtemos o sistema
Portanto a única combinação linear que dá o polinômio zero é a combinação trivial
. Isso prova que
e
são linearmente independentes.
Passo 6
Como já mostramos que
gera
e que é linearmente independente, este conjunto é uma base de
por definição de base.
A dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base. Como a base encontrada tem
vetores, concluímos que
.
Observação útil (prática para a prova): qualquer outro conjunto obtido por combinações invertíveis desses vetores (por exemplo
ou
) também será uma base; o número de vetores em qualquer base permanece
.