Seja W=\left\{\left(a x^{2}+b x+c\right) \in P(R): c=0\right\} um subespaço. Obtenha uma base para W e a dimensão de W .

Passo 1

O enunciado nos dá o subconjunto
W=\left\{\left(a x^{2}+b x+c\right)\in P(\mathbb{R}) : c=0\right\}.
O que isso significa em palavras: os polinômios de grau até 2 em W têm termo constante igual a zero, ou seja são da forma a x^{2}+b x.
As perguntas do exercício são:
  • Obter uma base para W.
  • Determinar a dimensão de W.

Passo 2

Primeiro vamos entender claramente o que significa “ser uma base”. Uma base de um subespaço W é um conjunto de vetores (aqui: polinômios) que satisfaz dois requisitos:
  1. Geram W: todo vetor de W pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base (isso se chama “spanning” ou “geram”).
  2. São linearmente independentes: nenhuma combinação linear não-trivial deles resulta no polinômio zero.
Vou mostrar passo a passo como encontrar um conjunto que satisfaça esses dois requisitos para W.

Passo 3

Escrevendo um elemento genérico de W. Como o enunciado impõe c=0, um polinômio arbitrário de W tem a forma
p(x)=a x^{2}+b x.
Aqui a e b são números reais quaisquer. Note que não aparece termo constante nem termo de grau maior que 2.

Passo 4

Mostrando que \{x^{2},x\} gera W. Qualquer p(x)\in W pode ser reescrito como
p(x)=a x^{2}+b x = a\cdot x^{2} + b\cdot x.
Isto é exatamente uma combinação linear dos polinômios x^{2} e x. Portanto qualquer elemento de W é combinação linear de x^{2} e x, logo
\operatorname{span}\{x^{2},x\}=W.
Concluímos que \{x^{2},x\} é um conjunto gerador de W.

Passo 5

Mostrando que \{x^{2},x\} é linearmente independente. Para provar independência linear, suponha que existam escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha x^{2}+\beta x = 0,
onde 0 é o polinômio nulo (o polinômio cujo coeficiente de cada potência de x é zero). Dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes correspondentes de cada potência de x são iguais. Comparando coeficientes no lado esquerdo e no polinômio nulo, obtemos o sistema
\alpha = 0,\qquad \beta = 0.
Portanto a única combinação linear que dá o polinômio zero é a combinação trivial \alpha=\beta=0. Isso prova que x^{2} e x são linearmente independentes.

Passo 6

Como já mostramos que \{x^{2},x\} gera W e que é linearmente independente, este conjunto é uma base de W por definição de base.
A dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base. Como a base encontrada tem 2 vetores, concluímos que \dim(W)=2.
Observação útil (prática para a prova): qualquer outro conjunto obtido por combinações invertíveis desses vetores (por exemplo \{x,\,x^{2}\} ou \{2x^{2},\,3x\}) também será uma base; o número de vetores em qualquer base permanece 2.

Resposta

\{x^{2},x\}\n
\dim(W)=2

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