(2pts) Use o Tearema de Green para calcular a integral de linka ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC(1-y^3) d x+(x^3+e^y^2) d y
onde C é o limite da região entre circulos x^2+y^2=4 x^2+y^2=9

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
ointC (1 - y^3),dx + (x^3 + e^y^2),dy
onde C é o contorno da região anelar limitada pelos círculos x^2 + y^2 = 4 e x^2 + y^2 = 9, com orientação positiva (anti-horária). O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha numa integral dupla sobre a região D interior a C.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
Aqui P(x,y)=1-y^3 e Q(x,y)=x^3+e^y^2. Calculamos
partial Qpartial x = 3x^2, partial Ppartial y = -3y^2,
logo o integrando é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 - (-3y^2) = 3(x^2 + y^2)

Passo 3

Como a região D é um anel circular, passamos para coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta, x^2 + y^2 = r^2
A integral dupla torna-se
integral duplaD 3(x^2 + y^2),dA = integral0^2pi!integral2^3 3r^2 cdot r,dr,dtheta = integral0^2pi!integral2^3 3r^3,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em r:
integral2^3 3r^3,dr = 3 cdot [r^44]2^3 = 3 cdot 81 - 164 = 1954

Passo 5

Agora em theta:
integral0^2pi 1954,dtheta = 1954 cdot 2pi = 1952,pi

Resposta

1952,pi

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