Dada a curva
. Encontre um operador diferencial linear anulador para
. Apresente sua solução de forma detalhada!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O objetivo aqui é encontrar um operador diferencial linear que, quando aplicado nessa função
, anule ela, ou seja, dê zero. Para isso, vamos usar conceitos de operadores diferenciais e anulatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um operador diferencial linear anulador. Basicamente, é uma expressão envolvendo derivadas que, quando aplicada a uma função específica, resulta em zero. Cada tipo de função tem seu próprio anulatário. Nosso trabalho é encontrar operadores que anulem cada parte da nossa função
e depois combinar esses operadores.
Passo 3
Vamos separar a função
em duas partes para facilitar:
Agora, vamos encontrar o anulatário para cada uma dessas partes.
Passo 4
Para
:
Funções exponenciais do tipo têm como anulatário o operador
, onde
representa a derivada em relação a
.
No nosso caso, , então o anulatário é:
Funções exponenciais do tipo
No nosso caso,
Passo 5
Para
:
Funções trigonométricas como têm como anulatário o operador
.
Aqui, , então o anulatário é:
Funções trigonométricas como
Aqui,
Passo 6
Agora que temos os anulatários individuais para
e
, precisamos combiná-los para encontrar um operador que anule a função inteira
. Para isso, usamos o Mínimo Comum Múltiplo (MCM) dos dois operadores:
Passo 7
Multiplicando os operadores, temos:
Vamos expandir essa expressão:
Arrumando os termos:
Resposta
Um operador diferencial linear anulador para
é: