Dada a curva y=2 e^-3 x+7 cos (5 x). Encontre um operador diferencial linear anulador para y. Apresente sua solução de forma detalhada!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função y = 2 e^-3x + 7 cos(5x) . O objetivo aqui é encontrar um operador diferencial linear que, quando aplicado nessa função y , anule ela, ou seja, dê zero. Para isso, vamos usar conceitos de operadores diferenciais e anulatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um operador diferencial linear anulador. Basicamente, é uma expressão envolvendo derivadas que, quando aplicada a uma função específica, resulta em zero. Cada tipo de função tem seu próprio anulatário. Nosso trabalho é encontrar operadores que anulem cada parte da nossa função y e depois combinar esses operadores.

Passo 3

Vamos separar a função y em duas partes para facilitar:
  • y1 = 2 e^-3x
  • y2 = 7 cos(5x)
Agora, vamos encontrar o anulatário para cada uma dessas partes.

Passo 4

Para y1 = 2 e^-3x :
Funções exponenciais do tipo e^ax têm como anulatário o operador D - a , onde D representa a derivada em relação a x .
No nosso caso, a = -3 , então o anulatário é:
D - (-3) = D + 3

Passo 5

Para y2 = 7 cos(5x) :
Funções trigonométricas como cos(bx) têm como anulatário o operador D^2 + b^2 .
Aqui, b = 5 , então o anulatário é:
D^2 + 25

Passo 6

Agora que temos os anulatários individuais para y1 e y2 , precisamos combiná-los para encontrar um operador que anule a função inteira y . Para isso, usamos o Mínimo Comum Múltiplo (MCM) dos dois operadores:
(D + 3) e (D^2 + 25)

Passo 7

Multiplicando os operadores, temos:
(D + 3)(D^2 + 25)
Vamos expandir essa expressão:
D(D^2 + 25) + 3(D^2 + 25) = D^3 + 25D + 3D^2 + 75
Arrumando os termos:
D^3 + 3D^2 + 25D + 75

Resposta

Um operador diferencial linear anulador para y = 2 e^-3x + 7 cos(5x) é:
D^3 + 3D^2 + 25D + 75

Exercícios relacionados