Dada a equação diferencial ordinária de segunda ordem
(D^2-2 D+2)(y)=0
Apresente uma solução geral dessa EDO de 2^a ordem;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem aqui:
(D^2-2 D+2)(y)=0
Isso é da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O que a gente vai precisar é encontrar a solução geral dessa equação, usando conceitos como equação característica e raízes complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é essa notação com o D. Aqui, D representa o operador de diferenciação em relação a x, ou seja, D(y) = dydx. Então, (D^2-2 D+2)(y) significa:
d^2 ydx^2 - 2 dydx + 2y = 0
Somos chamados a resolver essa equação diferencial de segunda ordem.

Passo 3

Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada a essa EDO. Substituímos D por r, ficando:
r^2 - 2r + 2 = 0
Essa é a nossa equação característica que vamos resolver para encontrar os valores de r.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática:
r^2 - 2r + 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 22 = 2 pm raiz4 - 82 = 2 pm raiz-42 = 2 pm 2i2 = 1 pm i
Então, as raízes são complexas: r = 1 + i e r = 1 - i.

Passo 5

Quando a equação característica tem raízes complexas alpha pm beta i , a solução geral da EDO é dada por:
y(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) )
Aqui, alpha = 1 e beta = 1, então substituindo na fórmula:
y(x) = e^x ( C1 cos(x) + C2 sin(x) )
onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^x ( C1 cos(x) + C2 sin(x) )

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