Dada a equação diferencial ordinária de segunda ordem
Apresente uma solução geral dessa EDO de
ordem;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem aqui:
Isso é da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O que a gente vai precisar é encontrar a solução geral dessa equação, usando conceitos como equação característica e raízes complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é essa notação com o
. Aqui,
representa o operador de diferenciação em relação a
, ou seja,
. Então,
significa:
Somos chamados a resolver essa equação diferencial de segunda ordem.
Passo 3
Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada a essa EDO. Substituímos
por
, ficando:
Essa é a nossa equação característica que vamos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas:
e
.
Passo 5
Quando a equação característica tem raízes complexas
, a solução geral da EDO é dada por:
Aqui,
e
, então substituindo na fórmula:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: