As seguintes equações tem a forma
. Em cada problema, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos criticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
Passo 1
O enunciado trata da EDO autônoma
com condição inicial
.
Conteúdo: equações diferenciais autônomas de primeira ordem, pontos de equilíbrio, reta de fase e comportamento qualitativo de soluções.
Conteúdo: equações diferenciais autônomas de primeira ordem, pontos de equilíbrio, reta de fase e comportamento qualitativo de soluções.
Passo 2
Esboço de
versus
:
– Para ,
logo
.
– Em ,
.
– Para ,
logo
.
A curva é crescente e convexa, cruza o eixo em .
– Para
– Em
– Para
A curva é crescente e convexa, cruza o eixo em
Passo 3
Pontos críticos (equilíbrio) são as raízes de
:
Passo 4
Classificação de
via derivada:
logo em
vale
.
Como , o ponto de equilíbrio é instável (repulsor).
Como
Passo 5
Reta de fase sobre o eixo
:
– Para
:
setas apontam para baixo.
– Para :
setas apontam para cima.
Em ocorre repulsão.
– Para
Em
Passo 6
Comportamento qualitativo das soluções no plano
:
- Todas as curvas nunca cruzam umas às outras nem o equilíbrio.
- Para
: cresce, diverge para num tempo finito (explosão). - Para
: decresce, tende a a medida que . - Em ambos os casos, ao retroceder no tempo (
), .
Esboço típico:
Resposta
Equilíbrio em
, instável. Gráficos de
, reta de fase e soluções desenhados acima.