As seguintes equações tem a forma d yd t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos criticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
d yd t=e^y-1,-infty<y0<infty

Passo 1

O enunciado trata da EDO autônoma
dydt=f(y)=e^y-1,
com condição inicial y(0)=y0in(-infty,infty).
Conteúdo: equações diferenciais autônomas de primeira ordem, pontos de equilíbrio, reta de fase e comportamento qualitativo de soluções.

Passo 2

Esboço de f(y) versus y:
– Para yto-infty, e^yto0 logo f(y)to-1.
– Em y=0, f(0)=e^0-1=0.
– Para yto+infty, e^yto+infty logo f(y)to+infty.
A curva é crescente e convexa, cruza o eixo em y=0.

Passo 3

Pontos críticos (equilíbrio) são as raízes de f(y)=0:
e^y-1=0 Longrightarrow y^*=0

Passo 4

Classificação de y^*=0 via derivada:
f'(y)=ddy(e^y-1)=e^y,
logo em y^*=0 vale f'(0)=e^0=1>0.
Como f'(y^*)>0, o ponto de equilíbrio é instável (repulsor).

Passo 5

Reta de fase sobre o eixo :
– Para : setas apontam para baixo.
– Para : setas apontam para cima.
Em ocorre repulsão.

Passo 6

Comportamento qualitativo das soluções no plano :
  • Todas as curvas nunca cruzam umas às outras nem o equilíbrio.
  • Para : cresce, diverge para num tempo finito (explosão).
  • Para : decresce, tende a a medida que .
  • Em ambos os casos, ao retroceder no tempo ( ), .
Esboço típico:

Resposta

Equilíbrio em y=0, instável. Gráficos de f(y), reta de fase e soluções desenhados acima.

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