5.2Q Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 10 kg de sal. A partir de um dado momento, água pura começa a entrar no tanque à razão de 20 litros por minuto, enquanto a mistura bem-homogeneizada sai do tanque à mesma razão. Qual a quantidade
de sal no tanque após
minutos? O que acontece com a quantidade de sal no tanque à medida que o tempo passa?
Passo 1
O problema trata de um tanque com volume inicial de
L contendo
kg de sal. A partir de
, água pura entra a
L/min e a mistura homogênea sai à mesma vazão, logo o volume fica constante. Vamos usar o princípio de balanço de massa para montar uma equação diferencial que descreva a variação
da massa de sal.
Passo 2
Como a vazão de entrada é igual à de saída, o volume permanece
A concentração de sal na mistura em cada instante é
Passo 3
O termo de entrada de sal é zero (água pura) e o de saída é a concentração vezes a vazão de saída, isto é,
Portanto o balanço de massa fornece a ODE
Passo 4
Essa é uma ODE linear de coeficientes constantes e separável. Separamos e integramos:
Exponenciando e usando
kg dá
Passo 5
À medida que
, o fator exponencial
, então
Isto é, a massa de sal decai exponencialmente até se tornar (praticamente) zero.
Resposta
e conforme
cresce,
tende a zero.