5.2Q Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 10 kg de sal. A partir de um dado momento, água pura começa a entrar no tanque à razão de 20 litros por minuto, enquanto a mistura bem-homogeneizada sai do tanque à mesma razão. Qual a quantidade Q(t) de sal no tanque após t minutos? O que acontece com a quantidade de sal no tanque à medida que o tempo passa?

Passo 1

O problema trata de um tanque com volume inicial de 350 L contendo 10 kg de sal. A partir de t=0, água pura entra a 20 L/min e a mistura homogênea sai à mesma vazão, logo o volume fica constante. Vamos usar o princípio de balanço de massa para montar uma equação diferencial que descreva a variação Q(t) da massa de sal.

Passo 2

Como a vazão de entrada é igual à de saída, o volume permanece
V(t)=350 L
A concentração de sal na mistura em cada instante é
c(t)=Q(t)V(t)=Q(t)350

Passo 3

O termo de entrada de sal é zero (água pura) e o de saída é a concentração vezes a vazão de saída, isto é,
saída = 20cdot c(t) = 20cdotQ(t)350 í
Portanto o balanço de massa fornece a ODE
dQdt=0 - 20cdotQ(t)350=-20350,Q(t)=-235,Q(t)

Passo 4

Essa é uma ODE linear de coeficientes constantes e separável. Separamos e integramos:
dQQ=-235,dt Longrightarrow ln Q=-235,t + C
Exponenciando e usando Q(0)=10 kg dá
Q(t)=10,e^-235t

Passo 5

À medida que ttoinfty, o fator exponencial e^-235tto0, então
Q(t)to0
Isto é, a massa de sal decai exponencialmente até se tornar (praticamente) zero.

Resposta

Q(t)=10,exp!l(-tfrac235tr)kg,
e conforme t cresce, Q(t) tende a zero.

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