F1=(-x(x^2+y^2+z^2)^32,-y(x^2+y^2+z^2)^32,-z(x^2+y^2+z^2)^32) F2=(-z(x^2+z^2)^32, 0, x(x^2+z^2)^32)
e C:(x, y, z) in R^3: y=2,|x|=1,|z| <= 1 cup(x, y, z) in R^3: y=2,|x| <= 1,|z|=1.
(a) Qual o domínio de F ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais, F1 e F2, definidas em termos de x, y e z. A pergunta é: Qual é o domínio de F? Ou seja, queremos saber para quais valores de x, y e z essas funções estão bem definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender onde as funções podem ou não existir, especialmente olhando para os denominadores das expressões. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função F1:
F1=(-x(x^2+y^2+z^2)^32,-y(x^2+y^2+z^2)^32,-z(x^2+y^2+z^2)^32)
Aqui, temos que o denominador é (x^2+y^2+z^2)^32. Para a função estar bem definida, o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida.
Então, precisamos que:
x^2+y^2+z^2 neq 0
Isso significa que a função F1 está definida para todos os pontos (x, y, z) em R^3 exceto no ponto onde x = 0, y = 0 e z = 0.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função F2:
F2=(-z(x^2+z^2)^32, 0, x(x^2+z^2)^32)
O denominador aqui é (x^2+z^2)^32. Novamente, para a função estar bem definida, esse denominador não pode ser zero.
Portanto, precisamos que:
x^2+z^2 neq 0
Isso implica que para F2, os pontos onde x = 0 e z = 0 simultaneamente não estão no domínio. Ou seja, F2 está definida para todos os (x, y, z) em R^3 exceto onde x = 0 e z = 0 ao mesmo tempo.

Passo 4

Agora, juntando as informações das duas funções, queremos encontrar o domínio de F considerando tanto F1 quanto F2.
  • Para F1: Todos os pontos menos (0, 0, 0).
  • Para F2: Todos os pontos menos onde x = 0 e z = 0 simultaneamente.
Então, o domínio de F será a interseção dos domínios de F1 e F2. Ou seja, vamos excluir de R^3 os pontos que causam problemas em qualquer uma das funções.

Passo 5

Finalmente, expressando isso de forma clara:
O domínio de F é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) in R^3 exceto:
  1. O ponto onde x = 0, y = 0 e z = 0.
  2. Todos os pontos onde x = 0 e z = 0, independentemente do valor de y.
Matematicamente, podemos escrever o domínio de F como:
Dom(F) = R^3 setminus (0,0,0) setminus (0, y, 0) mid y in R

Resposta

O domínio de F é todo o espaço tridimensional R^3, exceto os pontos onde x = 0 e z = 0. Ou seja,
Dom(F) = R^3 setminus (0, y, 0) mid y in R

Exercícios relacionados