(a) Suponha que o fluxo de
através de qualquer superfície fechada seja zero. O que isso nos diz sobre os valores das constantes
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo vetorial
e diz que o fluxo desse campo através de qualquer superfície fechada é zero. Nosso objetivo aqui é descobrir os valores das constantes
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo do campo vetorial com a divergência desse campo. Precisamos calcular a divergência de
e igualá-la a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. Para um campo
, a divergência é dada por:
Como o fluxo através de qualquer superfície fechada é zero, a divergência de
deve ser igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Para
:
- Para
:
porque
e
não dependem de
.
- Para
:
novamente, porque
e
não dependem de
.
Passo 4
Agora, somamos as derivadas parciais para encontrar a divergência:
De acordo com o enunciado, essa divergência deve ser igual a zero:
Passo 5
Então, descobrimos que
deve ser igual a zero. Agora, temos que ver se há alguma restrição para as outras constantes
,
e
. Observando as expressões das derivadas parciais, notamos que elas não envolvem
,
ou
. Isso significa que essas constantes não afetam a divergência do campo e, portanto, podem ser qualquer valor real.
Resposta
A constante
deve ser igual a zero, e as constantes
,
e
podem assumir qualquer valor real.