F(x, y, z) = (a*x + b*y + 5*z) i + (x + c*z) j + (3*y + d*x) k
(a) Suponha que o fluxo de F através de qualquer superfície fechada seja zero. O que isso nos diz sobre os valores das constantes a, b, c e d ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo vetorial F(x, y, z) e diz que o fluxo desse campo através de qualquer superfície fechada é zero. Nosso objetivo aqui é descobrir os valores das constantes a, b, c e d. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo do campo vetorial com a divergência desse campo. Precisamos calcular a divergência de F e igualá-la a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. Para um campo , a divergência é dada por:
Como o fluxo através de qualquer superfície fechada é zero, a divergência de F deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Para :
  1. Para :
porque x e não dependem de y.
  1. Para :
novamente, porque 3 y e dx não dependem de z.

Passo 4

Agora, somamos as derivadas parciais para encontrar a divergência:
De acordo com o enunciado, essa divergência deve ser igual a zero:

Passo 5

Então, descobrimos que a deve ser igual a zero. Agora, temos que ver se há alguma restrição para as outras constantes b, c e d. Observando as expressões das derivadas parciais, notamos que elas não envolvem b, c ou d. Isso significa que essas constantes não afetam a divergência do campo e, portanto, podem ser qualquer valor real.

Resposta

A constante a deve ser igual a zero, e as constantes b, c e d podem assumir qualquer valor real.

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