e é a superfície do cilindro , incluindo a lateral e ambas as tampas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um campo vetorial e uma superfície que é o cilindro definido por e , incluindo as laterais e as duas tampas. O que precisamos fazer aqui envolve Cálculo Vetorial, especificamente calcular o fluxo do campo vetorial através dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo “passa” através dessa superfície. Para calcular isso, podemos usar o Teorema da Divergência, que simplifica o cálculo ao relacionar o fluxo através da superfície com a divergência do campo dentro do volume limitado pela superfície.
Passo 3
Então, o Teorema da Divergência nos diz que:
Isso significa que, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, podemos calcular a integral tripla da divergência de sobre o volume dentro do cilindro.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , , e . Então:
Passo 5
Agora, precisamos configurar a integral tripla sobre o volume do cilindro. É mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas para esse tipo de geometria. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Além disso, , então nossa divergência fica:
Passo 6
Configurando a integral tripla:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Por fim, integramos em relação a :
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da superfície é .