Encontre uma equação para a hipérbole que satisfaz as condições dadas:
Vértices
e focos
.
Vértices
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para encontrarmos a equação de uma hipérbole que tem vértices em
e focos em
. A matéria que vamos usar aqui é a Geometria Analítica, especificamente o estudo das hipérboles. Para resolver isso, precisamos lembrar das características principais de uma hipérbole: seus vértices, focos e como esses elementos se relacionam na equação padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma hipérbole tem duas formas principais, dependendo da orientação:
- Horizontal: Abre para a direita e esquerda.
- Vertical: Abre para cima e para baixo.
Observando os vértices
e focos
, percebemos que estão alinhados ao longo do eixo y, então nossa hipérbole será vertical.
Passo 3
A equação padrão de uma hipérbole vertical é:
Aqui,
é a distância do centro aos vértices, e
é a distância do centro aos focos. Precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Dado que os vértices estão em
, a distância do centro (que é a origem,
) aos vértices é
.
Passo 5
Os focos estão em
, então a distância do centro aos focos é
.
Passo 6
Sabemos que em uma hipérbole, existe a relação:
Vamos usar isso para encontrar
.
Passo 7
Substituindo os valores de
e
:
Passo 8
Agora que temos
e
, podemos substituir esses valores na equação padrão da hipérbole vertical.
Resposta
A equação da hipérbole é: