Encontre uma equação para a hipérbole que satisfaz as condições dadas:
Vértices (0, +- 3) e focos (0, +- 5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para encontrarmos a equação de uma hipérbole que tem vértices em (0, +- 3) e focos em (0, +- 5). A matéria que vamos usar aqui é a Geometria Analítica, especificamente o estudo das hipérboles. Para resolver isso, precisamos lembrar das características principais de uma hipérbole: seus vértices, focos e como esses elementos se relacionam na equação padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma hipérbole tem duas formas principais, dependendo da orientação:
  • Horizontal: Abre para a direita e esquerda.
  • Vertical: Abre para cima e para baixo.
Observando os vértices (0, +- 3) e focos (0, +- 5), percebemos que estão alinhados ao longo do eixo y, então nossa hipérbole será vertical.

Passo 3

A equação padrão de uma hipérbole vertical é:
Aqui, é a distância do centro aos vértices, e é a distância do centro aos focos. Precisamos encontrar e .

Passo 4

Dado que os vértices estão em (0, +- 3), a distância do centro (que é a origem, (0,0)) aos vértices é .

Passo 5

Os focos estão em (0, +- 5), então a distância do centro aos focos é .

Passo 6

Sabemos que em uma hipérbole, existe a relação:
Vamos usar isso para encontrar .

Passo 7

Substituindo os valores de e :

Passo 8

Agora que temos e , podemos substituir esses valores na equação padrão da hipérbole vertical.

Resposta

A equação da hipérbole é:

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