Encontre os vértices, os focos e as assíntitas da hipérbole. Faça um esboço da hipérbole.
y^2/16 - x^2/36 = 1.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às hipérboles.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos os parâmetros da hipérbole. A equação está na forma padrão de uma hipérbole vertical, que é . Aqui:
  • então
  • então

Passo 3

Os vértices de uma hipérbole vertical estão localizados a uma distância a acima e abaixo do centro. Como o centro da hipérbole está na origem (0,0):
  • Vértice 1:
  • Vértice 2:

Passo 4

Para encontrar os focos, usamos a relação . Calculando:
Os focos estão localizados a uma distância c do centro ao longo do eixo vertical:
  • Foco 1:
  • Foco 2:

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole vertical são linhas que passam pelo centro e têm inclinações determinadas por . Calculando:
Portanto, as equações das assíntotas são:

Resposta

  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Assíntotas: e
O esboço da hipérbole será uma curva aberta verticalmente, com vértices nos pontos (0,4) e (0, -4), focos mais distantes ao longo do eixo y, e assíntotas que cruzam o centro com inclinações positivas e negativas de 2/3.

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