Encontre os vértices, os focos e as assíntitas da hipérbole. Faça um esboço da hipérbole.
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole dada pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às hipérboles.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos os parâmetros da hipérbole. A equação está na forma padrão de uma hipérbole vertical, que é
. Aqui:
-
então -
então
Passo 3
Os vértices de uma hipérbole vertical estão localizados a uma distância
acima e abaixo do centro. Como o centro da hipérbole está na origem
:
- Vértice 1:
- Vértice 2:
Passo 4
Para encontrar os focos, usamos a relação
. Calculando:
Os focos estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo vertical:
- Foco 1:
- Foco 2:
Passo 5
As assíntotas de uma hipérbole vertical são linhas que passam pelo centro e têm inclinações determinadas por
. Calculando:
Portanto, as equações das assíntotas são:
Resposta
- Vértices:
e - Focos:
e - Assíntotas:
e
O esboço da hipérbole será uma curva aberta verticalmente, com vértices nos pontos
e
, focos mais distantes ao longo do eixo y, e assíntotas que cruzam o centro com inclinações positivas e negativas de
.