(3pts) Uma particula se movimenta sobre o eixo x. Sua posição em função do tempo é dada pela equação x(t)=25 m+(10 m / s) t-\left(0,5 m / s^{3}\right) t^{3}.
Determine:
a) A velocidade média entre zero e 2 s.
b) Em qual instante de tempo v(t)=0, ou seja, quando a partícula estará em repouso.
c) As funções v(t) e a(t).

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula ao longo do eixo x como
x(t) = 25\\ \mathrm{m} + (10\\ \mathrm{m/s})\,t - \bigl(0,5\\ \mathrm{m/s^3}\bigr)\,t^3
e pede:
a) a velocidade média entre t=0 e t=2\\ \mathrm{s},
b) o instante em que a velocidade instantânea v(t) se anula,
c) as expressões de v(t) e a(t).
Para resolver usamos o conceito de velocidade média e derivadas de funções de tempo.

Passo 2

A velocidade média \bar v entre t_1=0 e t_2=2\\ \mathrm{s} é
\bar v = \frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2 - t_1}.
Calculando x(0) e x(2):
x(0) = 25\\ \mathrm{m}, \quad x(2) = 25 + 10\cdot2 - 0,5\cdot(2)^3 = 25 + 20 -4 = 41\\ \mathrm{m}.
Logo
\bar v = \frac{41 - 25}{2 - 0} = \frac{16}{2} = 8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

A velocidade instantânea v(t) é a derivada de x(t) e a aceleração a(t) é a derivada de v(t).
Derivando
v(t) = \frac{dx}{dt} = 0 + 10 - 0,5\cdot3\,t^2 = 10 - 1{,}5\,t^2,
a(t) = \frac{dv}{dt} = 0 - 1{,}5\cdot2\,t = -3\,t.

Passo 4

Para achar quando a partícula pára, resolvemos
v(t) = 10 - 1{,}5\,t^2 = 0.
Temos
t^2 = \frac{10}{1{,}5} = \frac{20}{3},
t = \pm \sqrt{\frac{20}{3}}\approx \pm 2{,}58\\ \mathrm{s}.
Como consideramos t\ge0, o instante de repouso é
t = \sqrt{\tfrac{20}{3}}\\ \mathrm{s}\approx 2{,}58\\ \mathrm{s}.

Resposta

a) 8\\ \mathrm{m/s}.
b) t = \sqrt{\tfrac{20}{3}}\\ \mathrm{s}\approx 2{,}58\\ \mathrm{s}.
c) \displaystyle v(t) = 10 - 1{,}5\,t^2,\quad a(t) = -3\,t.

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