[3] [2.5 pontos] Considere o sistema linear a seguir:
[llll 1 & 2 & 0 & -1 1 & 0 & 2 & -1 1 & 2 & 2 & -1 3 & 4 & 4 & -3 ][c x y z w ]=[l 2 2 4 8 ]
(a) Descreva a solução do sistema.
(b) Encontre a solução do sistema homogêneo associado.
(c) Verifique que toda solução obtida em (a) é a soma de uma solução encontrada em (b) com uma solução particular que você obteve em (a).

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
e pede:
– (a) a solução geral desse sistema;
– (b) a solução do sistema homogêneo associado;
– (c) verificar que toda solução de (a) é soma de uma solução de (b) com uma solução particular de (a).
Vamos usar eliminação de Gauss para triangularizar a matriz aumentada e depois expressar as variáveis em função de um parâmetro livre.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada e subtraindo da segunda linha a primeira, da terceira a primeira e da quarta três vezes a primeira, obtemos
Subtraindo agora da quarta linha a segunda, a última linha fica igual à terceira, mostram-se duas equações independentes na parte triangular.

Passo 3

Das equações triangulares temos
-2y + 2z = 0, 2z = 2
Da segunda vem ;z=1. Substituindo na primeira dá -2y+2cdot1=0, logo y=1.

Passo 4

Voltando à primeira equação original
x + 2y - w = 2
substituindo y=1 resulta em x +2 - w =2, ou seja x = w. Como w não está fixado, seja w = tinR. Portanto a solução geral do sistema não homogêneo é
(x,y,z,w) = (t,,1,,1,,t), tinR

Passo 5

Para o sistema homogêneo basta repetir o mesmo processo com o vetor de termos independentes zerado. Obtém-se então z=0, y=0 e x=w. Logo a solução geral do homogêneo é
(x,y,z,w) = (t,,0,,0,,t), tinR

Passo 6

Escolhendo t=0 na solução de (a) achamos uma solução particular:
(x,y,z,w) = (0,1,1,0)
Somando-lhe qualquer vetor da forma (t,0,0,t) (solução geral do homogêneo) obtemos
(0,1,1,0) + (t,0,0,t) = (t,1,1,t),
que coincide com a solução geral de (a). Isso confirma que toda solução de (a) é a soma de uma solução particular e de uma solução do homogêneo.

Resposta

(a) (t,1,1,t)mid tinR
(b) (t,0,0,t)mid tinR
(c) Tomando a particular (0,1,1,0) e a geral do homogêneo (t,0,0,t), sua soma
(0,1,1,0)+(t,0,0,t)=(t,1,1,t)
é exatamente a forma da solução em (a).

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