[4] [2.5 pontos] Considere a matriz a seguir:
A=[lll 1 & a & a^2 1 & b & b^2 1 & c & c^2 ]
(a) Mostre que o determinante de A é (b-a)(c-a)(c-b).
(b) Para os valores particulares de a=4, b=2 e c=1 podemos afirmar que a matriz A possui inversa? Justifique.
(c) Seja A a matriz obtida substituindo-se a=4, b=2 e c=1, encontre a solução do sistema A X=B, em que X=[lx y z] e B=[l1 0 2], por meio da regra de Cramer.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
e pede:
– (a) mostrar que ;
– (b) decidir se, para , , , é invertível;
– (c) usar a regra de Cramer para resolver com
Vamos usar propriedades de determinante (linha-diferença) e depois Cramer.

Passo 2

Calcular det(A) por operações elementares:
faça R2 R2-R1 e R3 R3-R1. Então
R2=(0,;b-a,;(b^2-a^2))=(0,;b-a,;(b-a)(b+a)),
R3=(0,;c-a,;(c^2-a^2))=(0,;c-a,;(c-a)(c+a))
Fatorando (b-a) de R2 e (c-a) de R3 sem trocar linhas, obtemos
det(A)=(b-a)(c-a), det 1 & a & a^2 0 & 1 & b+a 0 & 1 & c+a
No 2times2 inferior faz-se R3 R3-R2, gerando
det 1 & a & a^2 0 & 1 & b+a 0 & 0 & (c+a)-(b+a) =(c-b)
Logo
det(A)=(b-a)(c-a)(c-b)

Passo 3

Para a=4, b=2, c=1 vale
det(A)=(2-4)(1-4)(1-2)=(-2)(-3)(-1)=-6neq0
Como o determinante é não-nulo, A é invertível.

Passo 4

Pela regra de Cramer, seja D=det(A)=-6. Substituímos a coluna de incógnitas por B para obter Dx, Dy e Dz:
Dx= 1 & 4 & 16 0 & 2 & 4 2 & 1 & 1 =-34, Dy= 1 & 1 & 16 1 & 0 & 4 1 & 2 & 1 =27, Dz= 1 & 4 & 1 1 & 2 & 0 1 & 1 & 2 =-5
Logo
x=DxD=-34-6=173, y=DyD=27-6=-92, z=DzD=-5-6=56

Resposta

(a) det(A)=(b-a)(c-a)(c-b).
(b) Para a=4, b=2, c=1, det(A)=-6neq0, logo A é invertível.
(c) Pela regra de Cramer
x=173, y=-92, z=56

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