(a) Mostre que o determinante de A é (b-a)(c-a)(c-b).
(b) Para os valores particulares de a=4, b=2 e c=1 podemos afirmar que a matriz A possui inversa? Justifique.
(c) Seja A a matriz obtida substituindo-se a=4, b=2 e c=1, encontre a solução do sistema A X=B, em que X=[lx y z] e B=[l1 0 2], por meio da regra de Cramer.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede:
– (a) mostrar que ;
– (b) decidir se, para , , , é invertível;
– (c) usar a regra de Cramer para resolver com
Vamos usar propriedades de determinante (linha-diferença) e depois Cramer.
Passo 2
Calcular det(A) por operações elementares:
faça R2 R2-R1 e R3 R3-R1. Então
R2=(0,;b-a,;(b^2-a^2))=(0,;b-a,;(b-a)(b+a)),
R3=(0,;c-a,;(c^2-a^2))=(0,;c-a,;(c-a)(c+a))
Fatorando (b-a) de R2 e (c-a) de R3 sem trocar linhas, obtemos
det(A)=(b-a)(c-a), det 1 & a & a^2 0 & 1 & b+a 0 & 1 & c+a
No 2times2 inferior faz-se R3 R3-R2, gerando
det 1 & a & a^2 0 & 1 & b+a 0 & 0 & (c+a)-(b+a) =(c-b)
Logo
det(A)=(b-a)(c-a)(c-b)
Passo 3
Para a=4, b=2, c=1 vale
det(A)=(2-4)(1-4)(1-2)=(-2)(-3)(-1)=-6neq0
Como o determinante é não-nulo, A é invertível.
Passo 4
Pela regra de Cramer, seja D=det(A)=-6. Substituímos a coluna de incógnitas por B para obter Dx, Dy e Dz: