1. Dada a função f(x, y)=6 x^{2}-5 x y, ache a derivada direcional da função na direção e sentido do vetor unitário \boldsymbol{U}=\cos \frac{\pi}{3} \boldsymbol{i}+\operatorname{sen} \frac{\pi}{3} \boldsymbol{j} utilizando a definição de derivada direcional. (Valor: 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=6x^{2}-5xy
e pede a derivada direcional em direção ao vetor unitário
\boldsymbol{U}=\cos\frac{\pi}{3}\,\mathbf{i}+\sin\frac{\pi}{3}\,\mathbf{j}.
O conteúdo usado aqui é a definição de derivada direcional, que calcula a taxa de variação de f ao longo de uma reta de passo h no sentido de \boldsymbol{U}.

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada direcional de f no ponto (x,y) ao longo de \boldsymbol{U}=(U_x,U_y):
D_{\boldsymbol{U}}f(x,y) =\lim_{h\to0}\frac{f\bigl(x+h\,U_x,\;y+h\,U_y\bigr)-f(x,y)}{h}.
Aqui temos
U_x=\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac12, \quad U_y=\sin\frac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}.

Passo 3

Calculamos f\bigl(x+hU_x,\;y+hU_y\bigr). Como
x+hU_x = x+\tfrac{h}{2}, \quad y+hU_y = y+\tfrac{\sqrt3}{2}\,h,
temos
f\bigl(x+\tfrac{h}{2},\,y+\tfrac{\sqrt3}{2}h\bigr) =6\Bigl(x+\tfrac{h}{2}\Bigr)^{2} -5\Bigl(x+\tfrac{h}{2}\Bigr)\Bigl(y+\tfrac{\sqrt3}{2}h\Bigr).
Expandindo:
6\bigl(x^2 + xh + \tfrac{h^2}{4}\bigr) -5\bigl(xy + \tfrac{\sqrt3}{2}xh + \tfrac{y}{2}h + \tfrac{\sqrt3}{4}h^2\bigr).

Passo 4

Subtraímos f(x,y)=6x^2-5xy, dividimos por h e tomamos h\to0. O numerador fica
\bigl[6x^2+6xh+\tfrac{3}{2}h^2-5xy-\tfrac{5\sqrt3}{2}xh-\tfrac{5y}{2}h-\tfrac{5\sqrt3}{4}h^2\bigr] -(6x^2-5xy)
= h\Bigl(6x-\tfrac{5\sqrt3}{2}x-\tfrac{5}{2}y\Bigr) + h^2\Bigl(\tfrac{3}{2}-\tfrac{5\sqrt3}{4}\Bigr).
Dividindo por h e fazendo h\to0 sobra apenas o coeficiente de h:
D_{\boldsymbol{U}}f(x,y) =6x-\frac{5\sqrt3}{2}\,x-\frac{5}{2}\,y =\frac{(12-5\sqrt3)\,x-5\,y}{2}.

Resposta

D_{\boldsymbol{U}}f(x,y) =\frac{(12-5\sqrt3)\,x-5\,y}{2}.

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