Verifique se a função f(x, y)=2 x^{2}+3 y^{2} é diferençável em todos os pontos do seu domínio, fazendo o seguinte: i) Ache \Delta f\left(x_{0}, y_{0}\right) para a função dada; ii) ache um \epsilon_{1} e um \epsilon_{2} de forma que a definição de diferenciabilidade seja satisfeita. (Valor: 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=2x^{2}+3y^{2}
é diferenciável em todo o domínio \mathbb{R}^2. Para isso vamos usar a definição: f é diferenciável em (x_{0},y_{0}) se, ao escrevermos
\Delta f = f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0}),
existe uma parte linear L(h,k) e um resto R(h,k) tal que
o que mostra que \displaystyle\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
Portanto f é diferenciável em (x_{0},y_{0}). Como (x_{0},y_{0}) era arbitrário, f é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.
Resposta
A função f(x,y)=2x^{2}+3y^{2} é diferenciável em todos os pontos de \mathbb{R}^2.
i) \displaystyle \Delta f=4x_{0}\,\Delta x+6y_{0}\,\Delta y+2(\Delta x)^{2}+3(\Delta y)^{2}.
ii) Dado \varepsilon_{1}>0, basta tomar \varepsilon_{2}=\varepsilon_{1}/5.