1. Verifique se a função f(x, y)=2 x^{2}+3 y^{2} é diferençável em todos os pontos do seu domínio, fazendo o seguinte: i) Ache \Delta f\left(x_{0}, y_{0}\right) para a função dada; ii) ache um \epsilon_{1} e um \epsilon_{2} de forma que a definição de diferenciabilidade seja satisfeita. (Valor: 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=2x^{2}+3y^{2}
é diferenciável em todo o domínio \mathbb{R}^2. Para isso vamos usar a definição: f é diferenciável em (x_{0},y_{0}) se, ao escrevermos
\Delta f = f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0}),
existe uma parte linear L(h,k) e um resto R(h,k) tal que
\Delta f = L(h,k) + R(h,k)
e
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.

Passo 2

Calculemos
f(x_{0}+h,y_{0}+k) = 2(x_{0}+h)^{2} + 3(y_{0}+k)^{2}
= 2\bigl(x_{0}^{2}+2x_{0}h+h^{2}\bigr) + 3\bigl(y_{0}^{2}+2y_{0}k+k^{2}\bigr)
= 2x_{0}^{2}+3y_{0}^{2} \;+\; 4x_{0}h + 6y_{0}k \;+\; 2h^{2} + 3k^{2}.
Logo
\Delta f = \bigl[f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})\bigr] = 4x_{0}h + 6y_{0}k + 2h^{2} + 3k^{2}.

Passo 3

A parte linear em (h,k) é
L(h,k) = 4x_{0}h + 6y_{0}k,
que coincide com \nabla f(x_{0},y_{0})\cdot(h,k) onde \nabla f(x_{0},y_{0})=(4x_{0},6y_{0}).
O resto fica
R(h,k) = 2h^{2} + 3k^{2}.

Passo 4

Para mostrar que R(h,k)=o(\sqrt{h^{2}+k^{2}}), observe que
|R(h,k)| = |2h^{2}+3k^{2}| \le 2h^{2}+3k^{2} \le 5(h^{2}+k^{2}) = 5\|(h,k)\|^{2}.
Logo
\left|\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}\right| \le 5\sqrt{h^{2}+k^{2}}.

Passo 5

Dado \varepsilon_{1}>0, basta escolher
\varepsilon_{2} = \frac{\varepsilon_{1}}{5}.
Assim, se \sqrt{h^{2}+k^{2}}<\varepsilon_{2} então
\left|\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}\right| < 5\,\varepsilon_{2} = \varepsilon_{1},
o que mostra que \displaystyle\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
Portanto f é diferenciável em (x_{0},y_{0}). Como (x_{0},y_{0}) era arbitrário, f é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.

Resposta

A função f(x,y)=2x^{2}+3y^{2} é diferenciável em todos os pontos de \mathbb{R}^2.
i) \displaystyle \Delta f=4x_{0}\,\Delta x+6y_{0}\,\Delta y+2(\Delta x)^{2}+3(\Delta y)^{2}.
ii) Dado \varepsilon_{1}>0, basta tomar \varepsilon_{2}=\varepsilon_{1}/5.

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