Se A=\{1,2,3\} e B=\{3,4\}, calcule A \times B (produto cartesiano).

Passo 1

O enunciado nos dá os conjuntos
A=\{1,2,3\} e B=\{3,4\}.
A pergunta é: calcular o produto cartesiano A\times B (ou seja, escrever todos os pares ordenados que pertencem a A\times B).

Passo 2

Definição útil (o que significa produto cartesiano): A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\; b\in B\}.
Isto quer dizer que cada elemento de A\times B é um par ordenado (a,b) em que o primeiro componente vem de A e o segundo componente vem de B.

Passo 3

Explicando o que é um par ordenado: (x,y) é diferente de (y,x) em geral. Então, por exemplo, (1,3) não é a mesma coisa que (3,1). No produto cartesiano A\times B o primeiro elemento do par sempre vem de A e o segundo sempre vem de B.

Passo 4

Contagem rápida: o número de pares em A\times B é |A|\cdot|B|, onde |A| é a quantidade de elementos de A e |B| a de B.
Aqui |A|=3 e |B|=2, logo |A\times B|=3\cdot2=6. Devemos obter exatamente 6 pares.

Passo 5

Construção sistemática (fixar um elemento de A e emparelhar com todos os de B):
  • Para a=1: os pares são (1,3) e (1,4).
  • Para a=2: os pares são (2,3) e (2,4).
  • Para a=3: os pares são (3,3) e (3,4).
    Verificação: listamos 6 pares, que coincide com a conta de |A|\cdot|B|=6. Não faltou nem sobrou nenhum par.

Resposta

A\times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}

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