[3] Conhecidos os pontos A=(0,1,2), B=(1,1,3), C=(1,3,3) e D=(2,1,5).
(a) ( 2,0 pontos)Encontre uma equação da reta que seja perpendicular ao plano A B C e que contem o ponto D.
(b) (2,0 pontos)Calcule o ponto de interseção entre a reta do item (a) com o plano A B C.
(c) ( 2,0 pontos)Calcule a altura desse tetraedro, relativa ao vértice D.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos os pontos
A=(0,1,2),\quad B=(1,1,3),\quad C=(1,3,3),\quad D=(2,1,5).
O que se pede:
  1. Uma reta que passe por D e seja perpendicular ao plano ABC.
  2. O ponto de interseção dessa reta com o plano ABC.
  3. A altura do tetraedro relativo ao vértice D, isto é, a distância de D ao plano ABC.
    Para isso vamos usar produto vetorial para achar o vetor normal ao plano, equação paramétrica de reta, equação de plano e fórmula de distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Calcular o vetor normal \vec n ao plano ABC como
\vec n = (B - A)\times(C - A).
Primeiro
B-A = (1,1,3)-(0,1,2) = (1,0,1),\quad C-A = (1,3,3)-(0,1,2) = (1,2,1).
Aplicando produto vetorial:
\vec n = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-2,\,0,\,2).
Podemos usar também o vetor \vec n =(-1,0,1), que é paralelo a (-2,0,2).

Passo 3

A reta r\) que passa por \(D=(2,1,5)\) e tem direção \(\vec n =(-1,0,1)\) em forma paramétrica é \[\begin{cases} x = 2 - t,\\\ y = 1,\\\ z = 5 + t, \end{cases}
com parâmetro (t\in\mathbb{R}].

Passo 4

A equação do plano ABC pode ser escrita como
\vec n\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; (-1,0,1)\cdot(x-0,\,y-1,\,z-2)=0 \;\Longrightarrow\; -z + x + 2=0 \;\Longrightarrow\; z = x + 2.
Para achar a interseção, substituímos x=2-t e z=5+t nessa equação:
5 + t = (2 - t) + 2 \;\Longrightarrow\; 5 + t = 4 - t \;\Longrightarrow\; 2t = -1 \;\Longrightarrow\; t = -\tfrac12.
Logo o ponto de interseção é
P = \bigl(2 - (-\tfrac12),\,1,\,5 + (-\tfrac12)\bigr) = \bigl(\tfrac{5}{2},\,1,\,\tfrac{9}{2}\bigr).

Passo 5

A altura do tetraedro relativo a D é a distância de D ao plano ABC, dada por
\text{dist} = \frac{\bigl|\vec n\cdot(D-A)\bigr|}{\|\vec n\|}.
Como D-A=(2,1,5)-(0,1,2)=(2,0,3) e \vec n=(-1,0,1), temos
\vec n\cdot(D-A) = -1\cdot2 + 0\cdot0 + 1\cdot3 = 1, \quad \|\vec n\| = \sqrt{(-1)^2+0^2+1^2} = \sqrt2,
portanto
\text{altura} = \frac{|1|}{\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2}.

Resposta

(a) A reta é
\begin{cases} x = 2 - t,\\\ y = 1,\\\ z = 5 + t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
(b) O ponto de interseção com o plano ABC é
\bigl(\tfrac{5}{2},\,1,\,\tfrac{9}{2}\bigr).
(c) A altura do tetraedro relativo a D é
\frac{1}{\sqrt2}.

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