[3] Conhecidos os pontos A=(0,1,2), B=(1,1,3), C=(1,3,3) e D=(2,1,5).
(a) ( 2,0 pontos)Encontre uma equação da reta que seja perpendicular ao plano A B C e que contem o ponto D.
(b) (2,0 pontos)Calcule o ponto de interseção entre a reta do item (a) com o plano A B C.
(c) ( 2,0 pontos)Calcule a altura desse tetraedro, relativa ao vértice D.
Uma reta que passe por D e seja perpendicular ao plano ABC.
O ponto de interseção dessa reta com o plano ABC.
A altura do tetraedro relativo ao vértice D, isto é, a distância de D ao plano ABC.
Para isso vamos usar produto vetorial para achar o vetor normal ao plano, equação paramétrica de reta, equação de plano e fórmula de distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Calcular o vetor normal \vec n ao plano ABC como \vec n = (B - A)\times(C - A).
Primeiro
Podemos usar também o vetor \vec n =(-1,0,1), que é paralelo a (-2,0,2).
Passo 3
A reta r\) que passa por \(D=(2,1,5)\) e tem direção \(\vec n =(-1,0,1)\) em forma paramétrica é
\[\begin{cases} x = 2 - t,\\\ y = 1,\\\ z = 5 + t, \end{cases}
com parâmetro (t\in\mathbb{R}].
Passo 4
A equação do plano ABC pode ser escrita como
\vec n\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; (-1,0,1)\cdot(x-0,\,y-1,\,z-2)=0 \;\Longrightarrow\; -z + x + 2=0 \;\Longrightarrow\; z = x + 2.
Para achar a interseção, substituímos x=2-t e z=5+t nessa equação:
5 + t = (2 - t) + 2 \;\Longrightarrow\; 5 + t = 4 - t \;\Longrightarrow\; 2t = -1 \;\Longrightarrow\; t = -\tfrac12.
Logo o ponto de interseção é
P = \bigl(2 - (-\tfrac12),\,1,\,5 + (-\tfrac12)\bigr) = \bigl(\tfrac{5}{2},\,1,\,\tfrac{9}{2}\bigr).
Passo 5
A altura do tetraedro relativo a D é a distância de D ao plano ABC, dada por