Verifique se as transformações abaixo são lineares:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(x+2, y+1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (x+2,\;y+1)
é linear. O conteúdo usado será a definição de transformação linear: preservação de soma de vetores e multiplicação por escalar, em particular a condição equivalente T(0)=0.

Passo 2

Uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v)
  2. T(\alpha\,u)=\alpha\,T(u)
    Uma condição necessária (e fácil de checar) é
T(0,0) = (0,0).

Passo 3

Vamos calcular T(0,0):
T(0,0) = (0+2,\;0+1) = (2,1).
Como (2,1)\neq(0,0), a condição T(0)=0 falha.

Passo 4

Quando uma aplicação não envia o vetor nulo ao vetor nulo, ela não pode ser linear, pois violou uma propriedade básica de linearidade.

Resposta

A transformação T(x,y)=(x+2,y+1) não é linear.

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