[5] (2,0 pontos)Calcular o ângulo entre o plano x=0 \mathrm{e} o plano x+y+z-3=0.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre o plano x=0 e o plano x+y+z-3=0. Para isso vamos usar o fato de que o ângulo entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais, aplicando produto escalar e normas.

Passo 2

Identificamos os vetores normais:
n_1 é normal ao plano x=0, logo
n_1 = (1,0,0).
n_2 é normal ao plano x+y+z-3=0, logo
n_2 = (1,1,1).

Passo 3

A fórmula para o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores n_1 e n_2 é
\cos(\theta) =\frac{\bigl|n_1\cdot n_2\bigr|}{\|n_1\|\,\|n_2\|}.

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
n_1\cdot n_2 = 1\cdot1 + 0\cdot1 + 0\cdot1 = 1,
\|n_1\| = \sqrt{1^2+0^2+0^2} = 1,\quad \|n_2\| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}.
Logo
\cos(\theta) = \frac{1}{1\cdot\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 5

O ângulo \theta satisfaz
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr).
Em graus, isso dá aproximadamente
\theta \approx 54,74^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\approx54,74^\circ

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