[3] Sejam dados o plano \pi: x+y-z-1=0 \mathrm{e} os vetores \vec{u}=(1,-1,0), \vec{v}=(0,-1,-1) \mathrm{e} \vec{w}=(1,0,-1).
a) ( 1,0 ponto)Verifique quais desses vetores podem ser vetores diretores de \pi.
b) (1,0 ponto)Encontre os pontos B, C e D em \pi, tais que A B C D formem um paralelogramo, sendo A=(2,-1,0) e \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A D} os vetores diretores de \pi identificados no item a).

Passo 1

O enunciado dá o plano
\pi: x + y - z - 1 = 0
e os vetores
\vec{u} = (1,-1,0), \vec{v} = (0,-1,-1) e \vec{w} = (1,0,-1).
Conteúdo: vetor normal a um plano, produto escalar para verificar ortogonalidade e construção de paralelogramo por soma de vetores. Vamos primeiro achar quais vetores são diretores de \pi.

Passo 2

O vetor normal de \pi é
\vec{n} = (1,1,-1)
Um vetor \vec{a} é diretor de \pi se e somente se \vec{a}\cdot\vec{n}=0. Calculamos:
\vec{u}\cdot\vec{n} =1\cdot1 + (-1)\cdot1 + 0\cdot(-1) =0,
\vec{v}\cdot\vec{n} =0\cdot1 + (-1)\cdot1 + (-1)\cdot(-1) = -1 + 1 = 0,
\vec{w}\cdot\vec{n} =1\cdot1 + 0\cdot1 + (-1)\cdot(-1) =1 + 1 = 2 \neq 0.
Logo, \vec{u} e \vec{v} são vetores diretores de \pi, e \vec{w} não.

Passo 3

No item (b) temos A=(2,-1,0)\in\pi e queremos o paralelogramo ABCD com
\overrightarrow{AB}=\vec{u} e \overrightarrow{AD}=\vec{v}.
Então
B = A + \vec{u} = (2,-1,0)+(1,-1,0) = (3,-2,0),
D = A + \vec{v} = (2,-1,0)+(0,-1,-1) = (2,-2,-1).

Passo 4

Para fechar o paralelogramo, o quarto vértice é
C = B + \overrightarrow{AD} = B + \vec{v} = (3,-2,0)+(0,-1,-1) = (3,-3,-1).
Também daria C = D + \vec{u}, chegando ao mesmo resultado.

Resposta

a) Os vetores diretores de \pi são \vec{u} e \vec{v}.
b) B=(3,-2,0), C=(3,-3,-1) e D=(2,-2,-1).

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