[3] Sejam dados o plano \pi: x+y-z-1=0 \mathrm{e} os vetores \vec{u}=(1,-1,0), \vec{v}=(0,-1,-1) \mathrm{e}\vec{w}=(1,0,-1).
a) ( 1,0 ponto)Verifique quais desses vetores podem ser vetores diretores de \pi.
b) (1,0 ponto)Encontre os pontos B, C e D em \pi, tais que A B C D formem um paralelogramo, sendo A=(2,-1,0) e \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A D} os vetores diretores de \pi identificados no item a).
Passo 1
O enunciado dá o plano
\pi: x + y - z - 1 = 0
e os vetores \vec{u} = (1,-1,0), \vec{v} = (0,-1,-1) e \vec{w} = (1,0,-1).
Conteúdo: vetor normal a um plano, produto escalar para verificar ortogonalidade e construção de paralelogramo por soma de vetores. Vamos primeiro achar quais vetores são diretores de \pi.
Passo 2
O vetor normal de \pi é
\vec{n} = (1,1,-1)
Um vetor \vec{a} é diretor de \pi se e somente se \vec{a}\cdot\vec{n}=0. Calculamos: