Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' - 3y' + 2y = e^{x}
Esse é um problema de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular via coeficientes indeterminados.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - 3y' + 2y = 0
A equação característica é r^2 - 3r + 2 = 0. As raízes são
r = 1 \quad\text{e}\quad r = 2
Logo, a solução geral homogênea é
y_{c} = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{2x}

Passo 3

O termo de força é e^{x}. Como e^{x} aparece em y_{c}, multiplicamos o palpite por x e tomamos
y_{p} = A\,x\,e^{x}
onde A será determinado.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p}' = A e^{x} + A x e^{x}
y_{p}'' = A e^{x} + \bigl(A e^{x} + A x e^{x}\bigr) = 2A e^{x} + A x e^{x}
Substituindo na EDO:
y_{p}'' - 3y_{p}' + 2y_{p} = \bigl(2A e^{x} + A x e^{x}\bigr) - 3\bigl(A e^{x} + A x e^{x}\bigr) + 2\bigl(A x e^{x}\bigr)
= (2A - 3A)e^{x} + (A - 3A + 2A)x e^{x} = -A e^{x}
Para que isso seja igual a e^{x}, precisamos de -A e^{x} = e^{x}, logo -A = 1 e A = -1.

Passo 5

Com A = -1, a solução particular é
y_{p} = -x e^{x}
Assim, a solução geral da EDO é
y = y_{c} + y_{p} = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{2x} - x e^{x}

Resposta

y = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{2x} - x e^{x}

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