[3] Efetuar as operações indicadas e colocar a resposta na forma algébrica a+b i.
\frac{1-i}{\sqrt{3}+i}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular \frac{1 - i}{\sqrt{3} + i} e escrever o resultado na forma algébrica a + b\,i. O conteúdo envolve operações com números complexos, em particular a multiplicação pelo conjugado para eliminar a parte imaginária do denominador.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de \sqrt{3} + i, que é \sqrt{3} - i:
\frac{1 - i}{\sqrt{3} + i} = \frac{(1 - i)(\sqrt{3} - i)}{(\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} - i)}.

Passo 3

Expandimos o numerador:
(1 - i)(\sqrt{3} - i) = 1\cdot\sqrt{3} - 1\cdot i - i\cdot\sqrt{3} + i^2 = \sqrt{3} - i - \sqrt{3}i - 1 = (\sqrt{3} - 1) - (1 + \sqrt{3})\,i.

Passo 4

Calculamos o denominador usando a diferença de quadrados:
(\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} - i) = (\sqrt{3})^2 - i^2 = 3 - (-1) = 4.

Passo 5

Dividimos cada parte do numerador por 4:
\frac{(\sqrt{3}-1) - (1+\sqrt{3})\,i}{4} = \frac{\sqrt{3}-1}{4} \;-\; \frac{1+\sqrt{3}}{4}\,i.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{4} \;-\; \frac{1+\sqrt{3}}{4}\,i

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