[3] Efetuar as operações indicadas e colocar a resposta na forma algébrica a+b i.
\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{2}-i}=

Passo 1

O enunciado pede para dividir o número complexo \sqrt{3}-i por \sqrt{2}-i e escrever o resultado na forma algébrica a+bi. Vamos usar a técnica de racionalização do denominador com o conjugado.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{2}+i, que é o conjugado de \sqrt{2}-i:
\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{2}-i} = \frac{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{2}+i)}{(\sqrt{2}-i)(\sqrt{2}+i)}.

Passo 3

Calculamos o numerador:
(\sqrt{3}-i)(\sqrt{2}+i) = \sqrt{3}\,\sqrt{2} + \sqrt{3}\,i - i\,\sqrt{2} - i^2 = \sqrt{6} + i\sqrt{3} - i\sqrt{2} +1 = (\sqrt{6}+1) + i(\sqrt{3}-\sqrt{2}).

Passo 4

Calculamos o denominador usando i^2=-1:
(\sqrt{2}-i)(\sqrt{2}+i) = (\sqrt{2})^2 - i^2 = 2 -(-1) = 3.

Passo 5

Agora dividimos parte real e parte imaginária por 3:
\frac{(\sqrt{6}+1) + i(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3} = \frac{\sqrt{6}+1}{3} + i\,\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{2}-i} = \frac{\sqrt{6}+1}{3} \;+\; i\,\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3}.

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