Determine o complexo z tal que (3-i) z+(1+i)^{2}+8-i=18+11 i.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o número complexo z que satisfaz
(3 - i)\,z \;+\;(1 + i)^{2}\;+\;8 - i \;=\;18 + 11\,i.
O conteúdo aqui envolve operações com números complexos e a resolução de uma equação linear em z.

Passo 2

Primeiro, calculemos (1+i)^{2}. Usando a fórmula de binómio e sabendo que i^{2}=-1, temos
(1+i)^{2} \;=\;1 + 2\,i + i^{2} \;=\;1 + 2\,i - 1 \;=\;2\,i.

Passo 3

Agora somamos esse resultado ao termo 8 - i:
2\,i \;+\;(8 - i) \;=\;8 + (2\,i - i) \;=\;8 + i.

Passo 4

Substituindo de volta na equação principal, obtemos
(3 - i)\,z \;+\;(8 + i) \;=\;18 + 11\,i \quad\Longrightarrow\quad (3 - i)\,z \;=\;18 + 11\,i \;-\;(8 + i) \;=\;10 + 10\,i.

Passo 5

Para isolar z, dividimos por 3 - i. Usamos o conjugado para simplificar:
z \;=\;\frac{10 + 10\,i}{3 - i} \;\times\; \frac{3 + i}{3 + i} \;=\; \frac{(10 + 10\,i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)}.
No numerador:
(10 + 10\,i)(3 + i) =10\cdot3 + 10\cdot i + 10\,i\cdot3 + 10\,i\cdot i =30 + 10\,i + 30\,i + 10\,i^{2} =30 + 40\,i - 10 =20 + 40\,i.
No denominador:
(3 - i)(3 + i) = 3^{2} - i^{2} = 9 -(-1) = 10.
Logo,
z = \frac{20 + 40\,i}{10} = 2 + 4\,i.

Resposta

z = 2 + 4\,i

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