[3.] Encontre a solução do problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial. Os dados são:
- Equação:
. - Condição inicial:
.
O que se pede: encontrar a função
que satisfaça a equação para todo
(na maior parte do domínio possível) e a condição
.
Passo 2
Escolher um método simples e direto. Aqui a equação pode ser tratada por separação de variáveis porque é possível escrever a derivada
em função de
e
de forma que os termos com
fiquem num lado e os termos com
no outro. Vou usar separação de variáveis porque é o método mais básico e eficiente neste caso.
Justificativa técnica curta: como a condição inicial é
, perto de
a solução é não nula, de modo que dividir por
é permitido. (A existência/uniqueness garante que a solução obtida será a única que satisfaz a condição inicial.)
Passo 3
Reescrever a equação isolando
:
Agora separar as variáveis agrupando
com
e
com
. Escrevendo
temos
e dividindo por
(válido porque
não é zero no ponto inicial)
Passo 4
Integrar ambos os lados. Integrais indefinidas dão uma constante de integração:
Calcule as integrais:
onde
é constante de integração real.
Passo 5
Eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados. Do passo anterior segue
Escrevendo
e lembrando que o sinal pode ser absorvido em uma constante real
(ou seja,
), obtemos a solução geral (incluindo o caso
que foi perdido ao dividir por
):
onde
é uma constante real arbitrária. (A solução
corresponde a
.)
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
em
obtém-se
Logo
.
Passo 7
Concluir a solução particular e verificar rapidamente. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
Verificação direta (útil para a prova): calcule
:
Então
logo a equação é satisfeita e a condição
também.
Observação sobre domínio e unicidade: a função coeficiente
é contínua em todo
, portanto pelo teorema de existência e unicidade a solução com a condição inicial dada existe e é única para todo
. Portanto
é a única solução global.