[3.] Encontre a solução do problema de valor inicial
u^{\prime}+t u=0, \quad u(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial. Os dados são:
  • Equação: u^{\prime}+t u=0.
  • Condição inicial: u(0)=1.
O que se pede: encontrar a função u(t) que satisfaça a equação para todo t (na maior parte do domínio possível) e a condição u(0)=1.

Passo 2

Escolher um método simples e direto. Aqui a equação pode ser tratada por separação de variáveis porque é possível escrever a derivada u^{\prime} em função de u e t de forma que os termos com u fiquem num lado e os termos com t no outro. Vou usar separação de variáveis porque é o método mais básico e eficiente neste caso.
Justificativa técnica curta: como a condição inicial é u(0)=1\neq0, perto de t=0 a solução é não nula, de modo que dividir por u é permitido. (A existência/uniqueness garante que a solução obtida será a única que satisfaz a condição inicial.)

Passo 3

Reescrever a equação isolando u^{\prime}:
u^{\prime} = -t\,u.
Agora separar as variáveis agrupando u com du e t com dt. Escrevendo u^{\prime}=\dfrac{du}{dt} temos
\frac{du}{dt} = -t\,u
e dividindo por u (válido porque u não é zero no ponto inicial)
\frac{1}{u}\,du = -t\,dt.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Integrais indefinidas dão uma constante de integração:
\int \frac{1}{u}\,du = \int -t\,dt.
Calcule as integrais:
\ln|u| = -\frac{t^{2}}{2} + C,
onde C é constante de integração real.

Passo 5

Eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados. Do passo anterior segue
|u| = e^{C} e^{-t^{2}/2}.
Escrevendo K=e^{C}>0 e lembrando que o sinal pode ser absorvido em uma constante real A (ou seja, u=\pm K e^{-t^{2}/2}), obtemos a solução geral (incluindo o caso u\equiv0 que foi perdido ao dividir por u):
u(t) = A\,e^{-t^{2}/2},
onde A é uma constante real arbitrária. (A solução u\equiv0 corresponde a A=0.)

Passo 6

Aplicar a condição inicial u(0)=1 para determinar A. Substituindo t=0 em u(t)=A e^{-t^{2}/2} obtém-se
u(0)=A e^{0}=A=1.
Logo A=1.

Passo 7

Concluir a solução particular e verificar rapidamente. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
u(t)=e^{-t^{2}/2}.
Verificação direta (útil para a prova): calcule u^{\prime}(t):
u^{\prime}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t^{2}/2}\bigr)=(-t)\,e^{-t^{2}/2}.
Então
u^{\prime}(t)+t\,u(t)=(-t)\,e^{-t^{2}/2}+t\,e^{-t^{2}/2}=0,
logo a equação é satisfeita e a condição u(0)=1 também.
Observação sobre domínio e unicidade: a função coeficiente t é contínua em todo \mathbb{R}, portanto pelo teorema de existência e unicidade a solução com a condição inicial dada existe e é única para todo t\in\mathbb{R}. Portanto u(t)=e^{-t^{2}/2} é a única solução global.

Resposta

u(t)=e^{-t^{2}/2}

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