Determine P(t), e usando \exp [P(t)], encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
u^{\prime}=10 u, \quad u(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
u'(t)=10\,u(t),\qquad u(0)=1.
As tarefas são:
  • Determinar P(t) quando a equação for escrita no formato padrão u'(t)+P(t)u(t)=g(t).
  • Usar \exp[\cdot] (o fator integrante) para encontrar a única solução do PVI.

Passo 2

Colocar a equação no formato linear padrão. A equação dada é
u'(t)=10\,u(t).
Subtraindo 10u(t) de ambos os lados obtemos
u'(t)-10\,u(t)=0.
Esse é do tipo u'(t)+P(t)u(t)=g(t) com g(t)=0. Portanto identifiquemos P(t).

Passo 3

Ler diretamente da forma padrão:
P(t)=-10,\qquad g(t)=0.
Ou seja, P(t) é a função constante -10.

Passo 4

Explicar o método do fator integrante (de forma prática e intuitiva). Para uma equação linear de primeira ordem
u'(t)+P(t)u(t)=g(t)
define-se o fator integrante
\mu(t)=\exp\!\Big(\int P(t)\,dt\Big).
A razão disso é que, ao multiplicar a equação por \mu(t), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(t)u(t):
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)u(t)\big)=\mu(t)g(t).
Assim basta integrar ambos os lados para achar \mu(t)u(t) e, daí, u(t).

Passo 5

Calcular o fator integrante usando P(t)=-10. Primeiro a primitiva de P(t) é
\int P(t)\,dt=\int -10\,dt=-10t + C.
Podemos escolher a constante C=0 (qualquer constante só multiplica \mu por um fator que se absorve na constante de integração posterior). Então
\mu(t)=\exp\!\big(\!-10t\big)=e^{-10t}.

Passo 6

Multiplicar a equação original por \mu(t)=e^{-10t}. Temos
e^{-10t}u'(t)-10e^{-10t}u(t)=0.
Pelo motivo explicado no Passo 4, o lado esquerdo é a derivada
\frac{d}{dt}\big(e^{-10t}u(t)\big)=0.
Integrando em t,
e^{-10t}u(t)=C,
onde C é constante de integração. Isolando u(t),
u(t)=C\,e^{10t}.

Passo 7

Usar a condição inicial u(0)=1. Substituindo t=0 na expressão geral:
u(0)=C\,e^{10\cdot 0}=C\cdot 1=C.
Como u(0)=1, obtemos C=1. Portanto a solução única é
u(t)=e^{10t}.

Resposta

P(t)=-10
u(t)=e^{10t}

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