Determine
, e usando
, encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
As tarefas são:
- Determinar
quando a equação for escrita no formato padrão . - Usar
(o fator integrante) para encontrar a única solução do PVI.
Passo 2
Colocar a equação no formato linear padrão. A equação dada é
Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Esse é do tipo
com
. Portanto identifiquemos
.
Passo 3
Ler diretamente da forma padrão:
Ou seja,
é a função constante
.
Passo 4
Explicar o método do fator integrante (de forma prática e intuitiva). Para uma equação linear de primeira ordem
define-se o fator integrante
A razão disso é que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada do produto
:
Assim basta integrar ambos os lados para achar
e, daí,
.
Passo 5
Calcular o fator integrante usando
. Primeiro a primitiva de
é
Podemos escolher a constante
(qualquer constante só multiplica
por um fator que se absorve na constante de integração posterior). Então
Passo 6
Multiplicar a equação original por
. Temos
Pelo motivo explicado no Passo 4, o lado esquerdo é a derivada
Integrando em
,
onde
é constante de integração. Isolando
,
Passo 7
Usar a condição inicial
. Substituindo
na expressão geral:
Como
, obtemos
. Portanto a solução única é