Encontre soluções da EDO,
[2.]
em
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Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Enunciado: a equação diferencial ordinária
está definida no intervalo
.
-
O que é pedido: encontrar as soluções (a solução geral) dessa equação no intervalo dado.
-
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função incógnita é
. - A derivada de
em relação a é . - O coeficiente multiplicando
é , definido no intervalo dado (note que é finita em ). - O intervalo
é tal que para todo nele (isto será útil mais adiante).
- A função incógnita é
Passo 2
Escolha do método e ideia básica (explicação didática).
- A equação tem a forma
com
. Uma maneira direta é tratar como equação de variável separável, porque pode ser escrita como
ou seja, a derivada de
é uma função de
multiplicada por
. Isso permite separar as variáveis
e
para integrar. Outra abordagem equivalente é usar o fator integrante; vou mostrar a via separável (é mais elementar) e comentar o fator integrante rapidamente no final.
Explicando o método separável de forma direta: se temos uma equação da forma
e
, podemos escrever
e integrar os dois lados. Aqui
e
.
Passo 3
Separação de variáveis e integração.
- Partindo de
escrevemos
e separamos:
Agora integramos ambos os lados. A primitiva de
em relação a
é
. A primitiva de
em relação a
é
(pois
). Assim, integrando:
onde
é uma constante arbitrária de integração.
Passo 4
Resolver para
e tratar a constante.
- A relação obtida foi
. Exponenciando ambos os lados:
Denotando
obtemos
. Isso significa que
é da forma
onde
é uma constante real arbitrária (a constante
absorve o sinal de
, ou seja
, inclusive
dá a solução trivial).
Passo 5
Observação sobre o intervalo e sobre valores absolutos.
- No intervalo
vale . Logo para todo nesse intervalo. Portanto a forma simplificada e contínua da solução no intervalo é exatamente
Isso inclui a solução nula
quando
.
Passo 6
Verificação direta (importante para provas).
- Vamos checar substituindo
na equação original. Calcula-se a derivada:
Agora calcular
:
Como
, segue
portanto
Logo a expressão anula-se e
satisfaz a equação para qualquer constante real
.
Passo 7
Comentário curto sobre o fator integrante (alternativa).
- Se preferir o método do fator integrante: para
com , o fator integrante é
Multiplicando a EDO por
obtém-se
, então
é constante, levando novamente a
(e, no intervalo dado,
).