Encontre soluções da EDO,
[2.]
\quad u^{\prime}+(\tan t) u=0 \quad em \left.\quad\right]-\pi / 2, \pi / 2[

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: a equação diferencial ordinária
u'(t)+(\tan t)\,u(t)=0
está definida no intervalo \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[.
  • O que é pedido: encontrar as soluções (a solução geral) dessa equação no intervalo dado.
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • A função incógnita é u(t).
    • A derivada de u em relação a t é u'(t).
    • O coeficiente multiplicando u é \tan t, definido no intervalo dado (note que \tan t é finita em \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[).
    • O intervalo \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[ é tal que \cos t>0 para todo t nele (isto será útil mais adiante).

Passo 2

Escolha do método e ideia básica (explicação didática).
  • A equação tem a forma
u'(t)+p(t)\,u(t)=0,
com p(t)=\tan t. Uma maneira direta é tratar como equação de variável separável, porque pode ser escrita como
u'(t)=-\tan t\;u(t),
ou seja, a derivada de u é uma função de t multiplicada por u. Isso permite separar as variáveis u e t para integrar. Outra abordagem equivalente é usar o fator integrante; vou mostrar a via separável (é mais elementar) e comentar o fator integrante rapidamente no final.
Explicando o método separável de forma direta: se temos uma equação da forma \dfrac{du}{dt}=g(t)\,h(u) e h(u)\neq0, podemos escrever \dfrac{du}{h(u)}=g(t)\,dt e integrar os dois lados. Aqui g(t)=-\tan t e h(u)=u.

Passo 3

Separação de variáveis e integração.
  • Partindo de
u'(t)=-\tan t\;u(t),
escrevemos u'=\dfrac{du}{dt} e separamos:
\frac{1}{u}\,du = -\tan t\,dt.
Agora integramos ambos os lados. A primitiva de \dfrac{1}{u} em relação a u é \ln|u|. A primitiva de \tan t em relação a t é -\ln|\cos t| (pois \dfrac{d}{dt}\ln|\cos t| = -\tan t). Assim, integrando:
\int \frac{1}{u}\,du = \int -\tan t\,dt
\Rightarrow \ln|u| = \ln|\cos t| + C,
onde C é uma constante arbitrária de integração.

Passo 4

Resolver para u e tratar a constante.
  • A relação obtida foi \ln|u|=\ln|\cos t|+C. Exponenciando ambos os lados:
|u| = e^{\ln|\cos t|+C} = e^{C}\,|\cos t|.
Denotando A=e^{C}>0 obtemos |u|=A\,|\cos t|. Isso significa que u é da forma
u(t)=K\cos t,
onde K é uma constante real arbitrária (a constante K absorve o sinal de |u|, ou seja K\in\mathbb{R}, inclusive K=0 dá a solução trivial).

Passo 5

Observação sobre o intervalo e sobre valores absolutos.
  • No intervalo \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[ vale \cos t>0. Logo |\cos t|=\cos t para todo t nesse intervalo. Portanto a forma simplificada e contínua da solução no intervalo é exatamente
u(t)=K\cos t,\qquad K\in\mathbb{R}.
Isso inclui a solução nula u\equiv0 quando K=0.

Passo 6

Verificação direta (importante para provas).
  • Vamos checar substituindo u(t)=K\cos t na equação original. Calcula-se a derivada:
u'(t) = K\cdot(-\sin t) = -K\sin t.
Agora calcular u'(t)+\tan t\,u(t):
u'(t)+\tan t\,u(t) = -K\sin t + \tan t\cdot K\cos t.
Como \tan t = \dfrac{\sin t}{\cos t}, segue
\tan t\cdot K\cos t = K\sin t,
portanto
- K\sin t + K\sin t = 0.
Logo a expressão anula-se e u(t)=K\cos t satisfaz a equação para qualquer constante real K.

Passo 7

Comentário curto sobre o fator integrante (alternativa).
  • Se preferir o método do fator integrante: para u'+p(t)u=0 com p(t)=\tan t, o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int \tan t\,dt\right)=\exp\!\left(-\ln|\cos t|\right)=\frac{1}{|\cos t|}.
Multiplicando a EDO por \mu(t) obtém-se (\mu u)'=0, então \mu u é constante, levando novamente a u(t)=K\cos t (e, no intervalo dado, |\cos t|=\cos t).

Resposta

u(t)=K\cos t,\quad K\in\mathbb{R}

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