[4.] Verifique que a família de funções
esta formada de soluções da ED,
para qualquer constante
.
Passo 1
O enunciado nos dá a família de funções
(onde
é uma constante) e a equação diferencial
O que se pede: verificar que, para qualquer constante
, a função
satisfaz a equação diferencial em
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A forma explícita das funções candidatas:
. - A equação que deve ser verificada:
. -
é constante e é a variável independente que varia em .
Passo 2
Calcular a derivada
. Lembrete rápido sobre derivadas úteis aqui: a derivada de uma função linear
(com
constantes) é
, porque a derivada de
é
e a de uma constante é
.
Aplicando isso a , obtemos
Aplicando isso a
Explicando as notações:
é a variável independente,
é a função dependente;
significa a taxa de variação de
em relação a
.
Passo 3
Calcular cada termo da equação diferencial substituindo
e
.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo (o próprio
):
Agora somar e subtrair conforme a equação:
Passo 4
Simplificar a expressão obtida:
Agrupando termos iguais:
Como o resultado da expressão é identicamente
para todo
e para qualquer constante
, a igualdade da equação diferencial é satisfeita em todos os pontos de
.
Passo 5
Interpretação final e observação prática: a verificação acima mostra que, ao calcular a derivada (que é constante
) e substituir, todos os termos cancelam algebraicamente, produzindo
. Portanto cada função da família
é solução da equação diferencial dada. Como exemplo numérico rápido, se
então
,
e
confirmando concretamente o cálculo geral.