[4.] Verifique que a família de funções \varphi(t)=K t+K^{2} esta formada de soluções da ED,
\left(u^{\prime}\right)^{2}+t u^{\prime}-u=0 \quad \text { em } \quad I \subseteq \mathbb{R}
para qualquer constante K.

Passo 1

O enunciado nos dá a família de funções \varphi(t)=K t+K^{2} (onde K é uma constante) e a equação diferencial
\left(u^{\prime}\right)^{2}+t\,u^{\prime}-u=0\quad\text{em}\quad I\subseteq\mathbb{R}.
O que se pede: verificar que, para qualquer constante K, a função \varphi(t)=K t+K^{2} satisfaz a equação diferencial em I.
Informações relevantes dadas:
  • A forma explícita das funções candidatas: \varphi(t)=K t+K^{2}.
  • A equação que deve ser verificada: \left(u^{\prime}\right)^{2}+t\,u^{\prime}-u=0.
  • K é constante e t é a variável independente que varia em I.

Passo 2

Calcular a derivada \varphi^{\prime}(t). Lembrete rápido sobre derivadas úteis aqui: a derivada de uma função linear \,a t + b (com a,b constantes) é a, porque a derivada de t é 1 e a de uma constante é 0.
Aplicando isso a \varphi(t)=K t+K^{2}, obtemos
\varphi^{\prime}(t)=K.
Explicando as notações: t é a variável independente, \varphi(t) é a função dependente; \varphi^{\prime}(t) significa a taxa de variação de \varphi em relação a t.

Passo 3

Calcular cada termo da equação diferencial substituindo \varphi e \varphi^{\prime}.
Primeiro termo:
\bigl(\varphi^{\prime}(t)\bigr)^{2}=K^{2}.
Segundo termo:
t\,\varphi^{\prime}(t)=t\cdot K = tK.
Terceiro termo (o próprio u):
\varphi(t)=K t+K^{2}.
Agora somar e subtrair conforme a equação:
\bigl(\varphi^{\prime}(t)\bigr)^{2}+t\,\varphi^{\prime}(t)-\varphi(t) =K^{2}+tK-\bigl(Kt+K^{2}\bigr).

Passo 4

Simplificar a expressão obtida:
K^{2}+tK-\bigl(Kt+K^{2}\bigr) =K^{2}+tK-Kt-K^{2}.
Agrupando termos iguais:
K^{2}-K^{2}+tK-Kt=0+0=0.
Como o resultado da expressão é identicamente 0 para todo t e para qualquer constante K, a igualdade da equação diferencial é satisfeita em todos os pontos de I.

Passo 5

Interpretação final e observação prática: a verificação acima mostra que, ao calcular a derivada (que é constante K) e substituir, todos os termos cancelam algebraicamente, produzindo 0. Portanto cada função da família \varphi(t)=K t+K^{2} é solução da equação diferencial dada. Como exemplo numérico rápido, se K=2 então \varphi(t)=2t+4, \varphi^{\prime}(t)=2 e
(2)^{2}+t\cdot 2-(2t+4)=4+2t-2t-4=0,
confirmando concretamente o cálculo geral.

Resposta

\varphi(t)=K t+K^{2} satisfaz \left(u^{\prime}\right)^{2}+t\,u^{\prime}-u=0 para qualquer constante K e todo t\in I.

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