Encontre soluções da EDO,
[2.]
em
[2.]
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as soluções da EDO
no intervalo
. Informações dadas:
- A equação é dada para
em . - Deve-se determinar todas as funções
que satisfazem a equação nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro vamos colocar a equação numa forma mais explícita para trabalhar. Como em
temos
, podemos dividir ambos os lados por
. Assim obtemos uma equação para
:
Nota importante: dividir por
só é permitido quando
; a função
é solução trivial e será considerada separadamente.
Passo 3
A equação obtida é separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Esta igualdade vale para pontos onde
. A solução
já é solução e será incluída no conjunto final.
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é a familiar:
Para o lado direito precisamos integrar
. Há duas maneiras comuns; vou fazer por decomposição em frações parciais para explicar bem:
Resolvendo
dá
e
, então
. Logo
Integrando com o sinal negativo:
Calcule cada termo:
Portanto
Observação: a expressão
aparece com frequência; aqui o resultado é
constante.
Passo 5
Igualando as integrais das duas lados obtemos
onde
é constante (combinação de
e
). Exponenciando:
Escrevendo
e permitindo
assumir sinal (absorvendo o sinal em uma constante real
), a forma geral das soluções não nulas fica
onde
é uma constante real arbitrária. Note que
dá a solução trivial
, então a solução geral (incluindo a trivial) pode ser escrita como
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): tomar logaritmo de
(para
):
logo
Multiplicando por
obtém-se
, que é exatamente a forma equivalente da EDO; portanto a solução está correta.