Encontre soluções da EDO,
[2.]
\quad\left(1-t^{2}\right) u^{\prime}+u=0 \quad em \quad-1<t<1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as soluções da EDO
(1-t^{2})\,u^{\prime}+u=0
no intervalo -1<t<1. Informações dadas:
  • A equação é dada para t em (-1,1).
  • Deve-se determinar todas as funções u(t) que satisfazem a equação nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro vamos colocar a equação numa forma mais explícita para trabalhar. Como em (-1,1) temos 1-t^{2}\neq0, podemos dividir ambos os lados por 1-t^{2}. Assim obtemos uma equação para u^{\prime}:
u^{\prime}=-\frac{u}{1-t^{2}}.
Nota importante: dividir por u só é permitido quando u\neq0; a função u\equiv0 é solução trivial e será considerada separadamente.

Passo 3

A equação obtida é separável. Vamos separar as variáveis u e t:
\frac{du}{u} = -\frac{dt}{1-t^{2}}.
Esta igualdade vale para pontos onde u(t)\neq0. A solução u\equiv0 já é solução e será incluída no conjunto final.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é a familiar:
\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_{1}.
Para o lado direito precisamos integrar -\displaystyle\int\frac{dt}{1-t^{2}}. Há duas maneiras comuns; vou fazer por decomposição em frações parciais para explicar bem:
\frac{1}{1-t^{2}}=\frac{1}{(1-t)(1+t)}=\frac{A}{1-t}+\frac{B}{1+t}.
Resolvendo A(1+t)+B(1-t)=1 A+B=1 e A-B=0, então A=B=\tfrac{1}{2}. Logo
\frac{1}{1-t^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right).
Integrando com o sinal negativo:
-\int\frac{dt}{1-t^{2}}=-\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)dt.
Calcule cada termo:
\int\frac{1}{1-t}\,dt = -\ln|1-t|,\qquad \int\frac{1}{1+t}\,dt = \ln|1+t|.
Portanto
-\int\frac{dt}{1-t^{2}}=-\frac{1}{2}\big(-\ln|1-t|+\ln|1+t|\big) =-\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+t}{1-t}\right)+C_{2}.
Observação: a expressão \operatorname{artanh}(t)=\tfrac{1}{2}\ln\!\left(\dfrac{1+t}{1-t}\right) aparece com frequência; aqui o resultado é -\operatorname{artanh}(t)+ constante.

Passo 5

Igualando as integrais das duas lados obtemos
\ln|u|=-\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+t}{1-t}\right)+C,
onde C é constante (combinação de C_{1} e C_{2}). Exponenciando:
|u|=e^{C}\left(\frac{1+t}{1-t}\right)^{-1/2}.
Escrevendo K=e^{C}\ge0 e permitindo K assumir sinal (absorvendo o sinal em uma constante real C_{0}), a forma geral das soluções não nulas fica
u(t)=C_{0}\sqrt{\frac{1-t}{1+t}},
onde C_{0} é uma constante real arbitrária. Note que C_{0}=0 dá a solução trivial u\equiv0, então a solução geral (incluindo a trivial) pode ser escrita como
u(t)=C\sqrt{\frac{1-t}{1+t}},\qquad C\in\mathbb{R}.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): tomar logaritmo de u (para u\neq0):
\ln u = \ln C + \tfrac{1}{2}\ln(1-t)-\tfrac{1}{2}\ln(1+t),
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\frac{u'}{u}=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{1-t}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}\right)=-\frac{1}{1-t^{2}}.
Multiplicando por u obtém-se u'=-\dfrac{u}{1-t^{2}}, que é exatamente a forma equivalente da EDO; portanto a solução está correta.

Resposta

u(t)=C\sqrt{\dfrac{1-t}{1+t}},\quad C\in\mathbb{R}

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