Fatore completamente os seguintes polinômios:
2 x^{2}-8 x+6

Passo 1

O enunciado pede: fatorar completamente o polinômio \;2x^{2}-8x+6\;.
Informações dadas que vamos usar: coeficientes do polinômio são \;a=2, \;b=-8 e \;c=6. A tarefa é escrever esse polinômio como um produto de fatores polinomiais de grau menor (idealmente fator linear vezes fator linear, quando possível).

Passo 2

Primeiro passo prático: procurar um fator comum entre todos os coeficientes. O máximo divisor comum dos números 2, -8 e 6 é 2. Isso significa que podemos colocar 2 em evidência. Explico: colocar em evidência significa escrever o polinômio como o produto do número em evidência pelo polinômio resultante dos coeficientes divididos por esse número. Assim:
2x^{2}-8x+6 = 2\bigl(x^{2}-4x+3\bigr).

Passo 3

Agora precisamos fatorar completamente o polinômio quadrático em evidência \;x^{2}-4x+3\;. Vou usar um método simples e rápido para quadráticos com coeficiente principal 1: encontrar dois números inteiros p e q tais que
p+q = -4\quad\text{e}\quad p\cdot q = 3.
A ideia por trás disso: quando conseguirmos tais p e q, teremos
x^{2}-4x+3 = x^{2} + (p+q)x + p q = (x+p)(x+q).

Passo 4

Agora achamos p e q. Os pares de fatores de 3 (considerando sinais) são (1,3) ou (-1,-3). Queremos soma -4, então o par adequado é p=-1 e q=-3, pois
-1 + (-3) = -4 \quad\text{e}\quad (-1)\cdot(-3)=3.
Portanto
x^{2}-4x+3 = (x-1)(x-3).

Passo 5

Voltando ao polinômio original com o fator que tiramos em evidência, substituímos:
2x^{2}-8x+6 = 2\bigl(x^{2}-4x+3\bigr) = 2(x-1)(x-3).

Passo 6

Verificação por expansão (para ter certeza e aprender a checar na prova): primeiro multiplico (x-1)(x-3):
(x-1)(x-3) = x\cdot x -3x -1\cdot x +3 = x^{2}-4x+3.
Multiplicando por 2:
2(x^{2}-4x+3) = 2x^{2}-8x+6,
que é o polinômio inicial. Está conferido.

Passo 7

Método alternativo (caso você prefira ou não ache óbvio os fatores): usar fórmula de raízes. Para x^{2}-4x+3 temos discriminante \Delta = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot3 = 16-12=4. As raízes são
x = \frac{4\pm\sqrt{4}}{2} = \frac{4\pm2}{2},
ou seja x=3 e x=1. Como as raízes são 1 e 3, o polinômio fatorado é 2(x-1)(x-3), o mesmo resultado. Dica para prova: escolher o método que for mais rápido para você; para coeficiente líder 1, procurar dois números p,q é geralmente o mais rápido.

Resposta

2(x-1)(x-3)

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