Fatore completamente os seguintes polinômios:
Passo 1
O enunciado pede: fatorar completamente o polinômio
.
Informações dadas que vamos usar: coeficientes do polinômio são ,
e
. A tarefa é escrever esse polinômio como um produto de fatores polinomiais de grau menor (idealmente fator linear vezes fator linear, quando possível).
Informações dadas que vamos usar: coeficientes do polinômio são
Passo 2
Primeiro passo prático: procurar um fator comum entre todos os coeficientes. O máximo divisor comum dos números
,
e
é
. Isso significa que podemos colocar
em evidência. Explico: colocar em evidência significa escrever o polinômio como o produto do número em evidência pelo polinômio resultante dos coeficientes divididos por esse número. Assim:
Passo 3
Agora precisamos fatorar completamente o polinômio quadrático em evidência
. Vou usar um método simples e rápido para quadráticos com coeficiente principal
: encontrar dois números inteiros
e
tais que
A ideia por trás disso: quando conseguirmos tais
e
, teremos
Passo 4
Agora achamos
e
. Os pares de fatores de
(considerando sinais) são
ou
. Queremos soma
, então o par adequado é
e
, pois
Portanto
Passo 5
Voltando ao polinômio original com o fator que tiramos em evidência, substituímos:
Passo 6
Verificação por expansão (para ter certeza e aprender a checar na prova): primeiro multiplico
:
Multiplicando por
:
que é o polinômio inicial. Está conferido.
Passo 7
Método alternativo (caso você prefira ou não ache óbvio os fatores): usar fórmula de raízes. Para
temos discriminante
. As raízes são
ou seja
e
. Como as raízes são
e
, o polinômio fatorado é
, o mesmo resultado. Dica para prova: escolher o método que for mais rápido para você; para coeficiente líder
, procurar dois números
é geralmente o mais rápido.