Esboçe um gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça as seguintes condições:
\begin{array}{ll} \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=1, & \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=-1, \quad \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=0, \\ \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=1, & f(2)=1, \quad f(0) \text { não está definido } \end{array}ãá

Passo 1

O enunciado pede o esboço de um gráfico de uma função que tenha descontinuidades em x=0 e em x=2, com limites laterais dados e com f(0) não definido e f(2)=1. O conteúdo envolve limites laterais e funções definidas por partes. A ideia é escolher trechos simples (reta ou constante) que façam cada limite valer o que o enunciado pede.

Passo 2

Vamos definir uma função por partes que satisfaça exatamente os limites e valores pedidos. Por exemplo, escolhemos
f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\[6pt] -1 + \dfrac{x}{2}, & 0 < x < 2,\\[6pt] 1, & x \ge 2, \end{cases}
com a convenção de que f(0) não está definido e f(2)=1.]

Passo 3

Agora conferimos cada condição:
— Para x\to0^-, como em x<0 temos f(x)=1, segue
\lim_{x\to0^-}f(x)=1.
— Para x\to0^+, em 0<x<2 vale f(x)=-1 + x/2, logo
\lim_{x\to0^+}f(x)=-1 + \frac{0}{2}=-1.
— Para x\to2^-, em 0<x<2 temos
\lim_{x\to2^-}f(x)=-1 + \frac{2}{2}=-1+1=0.
— Para x\to2^+, como em x\ge2 vale f(x)=1, segue
\lim_{x\to2^+}f(x)=1.
Além disso definimos f(2)=1 e deixamos f(0) sem valor, satisfazendo todas as condições do enunciado.

Passo 4

O esboço do gráfico fica assim:
— Para x<0, uma reta horizontal em y=1 até se aproximar de x=0, com um círculo aberto em (0,1).
— Em x=0 não há ponto (funcão não definida).
— Para 0<x<2, a reta inclinada y=-1 + x/2 que parte de um ponto aberto em (0,-1) e chega a um ponto aberto em (2,0).
— Em x=2, ponto preenchido em (2,1).
— Para x>2, reta horizontal em y=1.

Resposta

Uma definição que atende é
f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\[4pt] -1 + \dfrac{x}{2}, & 0 < x < 2,\\[4pt] 1, & x \ge 2, \end{cases}
com f(0) não definido e f(2)=1. Esse gráfico exibe os saltos e limites laterais exigidos.]

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