[3, pag 66-1)] Em cada item, verifique se as aplicações definidas são homomorfismos, e nos casos afirmativos, determinar seus núcleos.
G é o grupo dos números reais com a operação de adição, barG=G, phi(x)=x+1, forall x in G.

Passo 1

O enunciado define o grupo
G = (R,+)
e a aplicação
phicolon G to G, phi(x)=x+1
O objetivo é verificar se phi é um homomorfismo de grupos e, em caso afirmativo, determinar kerphi.

Passo 2

Para ser homomorfismo de grupos, precisamos ter para todos x,yin R
phi(x+y);=;phi(x);+;phi(y)
Calculando cada lado:
phi(x+y) = (x+y)+1 = x+y+1,
enquanto
phi(x) + phi(y) = (x+1) + (y+1) = x+y+2
Como x+y+1 neq x+y+2 em geral, a igualdade exigida falha.

Passo 3

A propriedade de homomorfismo não se satisfaz, logo phi não é um homomorfismo de grupos. Consequentemente, não faz sentido falar em núcleo de phi.

Resposta

phi não é homomorfismo e, portanto, não possui núcleo.

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