[3, pag 66-1)] Em cada item, verifique se as aplicações definidas são homomorfismos, e nos casos afirmativos, determinar seus núcleos.
é o grupo dos números reais com a operação de adição,
.
Passo 1
O enunciado define o grupo
e a aplicação
O objetivo é verificar se
é um homomorfismo de grupos e, em caso afirmativo, determinar
.
Passo 2
Para ser homomorfismo de grupos, precisamos ter para todos
Calculando cada lado:
enquanto
Como
em geral, a igualdade exigida falha.
Passo 3
A propriedade de homomorfismo não se satisfaz, logo
não é um homomorfismo de grupos. Consequentemente, não faz sentido falar em núcleo de
.