[3, pag 66-1)] Em cada item, verifique se as aplicações definidas são homomorfismos, e nos casos afirmativos, determinar seus núcleos.
é o grupo dos números reais com a operação de adição,
.
Passo 1
O enunciado define o grupo
, seu contra-grupo
e a aplicação
dada por
. O que precisamos fazer é verificar se
preserva a operação de adição (portanto é homomorfismo) e, em caso afirmativo, encontrar o núcleo
.
Passo 2
Verificamos a propriedade de homomorfismo comparando
com
:
Como a adição se distribui,
realmente é um homomorfismo de grupos abelianos.
Passo 3
O núcleo de
é o conjunto dos elementos que vão para o elemento neutro do codomínio (que é
em
). Logo, resolvemos
Portanto,