[3, pag 66-1)] Em cada item, verifique se as aplicações definidas são homomorfismos, e nos casos afirmativos, determinar seus núcleos.
G é o grupo dos números reais com a operação de adição, barG=G, phi(x)=13 x, forall x in G.

Passo 1

O enunciado define o grupo G=(R,+), seu contra-grupo barG=G e a aplicação phicolon GtobarG dada por phi(x)=13x. O que precisamos fazer é verificar se phi preserva a operação de adição (portanto é homomorfismo) e, em caso afirmativo, encontrar o núcleo kerphi=xinRmidphi(x)=0.

Passo 2

Verificamos a propriedade de homomorfismo comparando phi(x+y) com phi(x)+phi(y):
phi(x+y)=13,(x+y)=13x+13y=phi(x)+phi(y)
Como a adição se distribui, phi realmente é um homomorfismo de grupos abelianos.

Passo 3

O núcleo de phi é o conjunto dos elementos que vão para o elemento neutro do codomínio (que é 0 em R). Logo, resolvemos
phi(x)=0 Long<=ftrightarrow 13x=0 Longrightarrow x=0
Portanto,
kerphi=0

Resposta

phi é um homomorfismo e kerphi=0.

Exercícios relacionados