Estabeleça a equação geral do plano que contém as retas r : ly=2 x-3 z=-x+2 e s:lx-13=z-15 y=-1

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em
e pede a equação geral do plano que as contém. Vamos usar geometria analítica em : parametrizar as retas para obter pontos e vetores diretores e, em seguida, o produto vetorial para achar o vetor normal ao plano.

Passo 2

Parametrizando r por t:
x=t, y=2t-3, z=-t+2.
Um ponto em r é P0=(0,-3,2) (para t=0) e o vetor diretor é
u=(1,2,-1).
Parametrizando s por lambda:
x=1+3lambda,;y=-1,;z=1+5lambda.
Um ponto em s é Q0=(1,-1,1) (para lambda=0) e o vetor diretor é
v=(3,0,5).

Passo 3

O vetor normal n ao plano pode ser obtido pelo produto vetorial
n = utimes v = i&j&k 1&2&-1 3&0&5 = (10,,-8,,-6)
Podemos simplificar dividindo por 2:
n=(5,-4,-3).

Passo 4

A equação geral do plano com normal n=(A,B,C)=(5,-4,-3) que passa por P0=(0,-3,2) é
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Substituindo,
5(x-0)-4l(y+3r)-3l(z-2r)=0 ;Longrightarrow; 5x-4y-12-3z+6=0 ;Longrightarrow; 5x-4y-3z-6=0

Resposta

A equação geral do plano é
5x - 4y - 3z - 6 = 0

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