Determine a família de primitivas de g(t)=t e^{t}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(t) = t e^t
e pede a família de primitivas, isto é, queremos calcular
\int g(t)\,dt = \int t e^t\,dt.
O conteúdo principal para resolver isso é a fórmula de integração por partes.

Passo 2

A fórmula de integração por partes diz que, para funções u(t) e v(t),
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Escolhemos
u = t, \quad dv = e^t\,dt.
Então
du = dt, \quad v = \int e^t\,dt = e^t.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
\int t e^t\,dt = u\,v - \int v\,du = t\cdot e^t - \int e^t\,dt.
Como \int e^t\,dt = e^t, temos
\int t e^t\,dt = t e^t - e^t + C.
Podemos fatorar e^t:
t e^t - e^t = e^t\,(t - 1).

Resposta

A família de primitivas de g(t)=t e^t é
\boxed{e^t\,(t - 1) + C}.

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