Considere a matriz A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right). Determine:
(a) (1.0 pt) os autovalores de A e suas multiplicidades algébricas.
(b) ( 1.0 pt ) o polinômio mínimo de A.
(c) ( 1.0 pt ) uma base de cada autoespaço e a multiplicidade geométrica de cada autovalor.
(d) ( 1.0 pt ) se A é diagonalizável.
e pede:
(a) os autovalores e suas multiplicidades algébricas;
(b) o polinômio mínimo;
(c) base de cada autoespaço e multiplicidade geométrica;
(d) verificar se A é diagonalizável.
Para isso vamos usar teoria de matrizes triangulares, polinômio característico, polinômio mínimo e resolução de (A-\lambda I)x=0.]
Passo 2
Como A é triangular superior, seu polinômio característico é
Logo o único autovalor é \lambda=1, com multiplicidade algébrica 3.]
Passo 3
Para o polinômio mínimo m(\lambda) note que N = A - I é estritamente triangular superior de ordem 3, logo
N^3=0\quad\text{e}\quad N^2\neq 0.
O menor polinômio monico que zera A é
m(\lambda)=(\lambda-1)^3.
Passo 4
Para achar o autoespaço de \lambda=1\) resolvemos
\[(A-I)x=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 2x_2+3x_3=0,\\[4pt] 2x_3=0,\\[4pt] 0=0. \end{cases}
Da segunda equação vem x_3=0\]. Substituindo na primeira obtém-se \(x_2=0. Resta x_1 livre.
Uma matriz é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica iguala a algébrica. Aqui temos para \lambda=1 multiplicidade algébrica 3 e geométrica 1, logo \text{\(A \emph{não} é diagonalizável.})
Resposta
(a) O único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 3.
(b) O polinômio mínimo é m(\lambda)=(\lambda-1)^3.
(c) O autoespaço de \lambda=1 é \operatorname{span}\{(1,0,0)\} e sua multiplicidade geométrica é 1.
(d) A não é diagonalizável.