Considere a matriz A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right). Determine:
(a) (1.0 pt) os autovalores de A e suas multiplicidades algébricas.
(b) ( 1.0 pt ) o polinômio mínimo de A.
(c) ( 1.0 pt ) uma base de cada autoespaço e a multiplicidade geométrica de cada autovalor.
(d) ( 1.0 pt ) se A é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[6pt] 0 & 1 & 2\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede:
(a) os autovalores e suas multiplicidades algébricas;
(b) o polinômio mínimo;
(c) base de cada autoespaço e multiplicidade geométrica;
(d) verificar se A é diagonalizável.
Para isso vamos usar teoria de matrizes triangulares, polinômio característico, polinômio mínimo e resolução de (A-\lambda I)x=0.]

Passo 2

Como A é triangular superior, seu polinômio característico é
\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1-\lambda & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)^3.
Logo o único autovalor é \lambda=1, com multiplicidade algébrica 3.]

Passo 3

Para o polinômio mínimo m(\lambda) note que N = A - I é estritamente triangular superior de ordem 3, logo
N^3=0\quad\text{e}\quad N^2\neq 0.
O menor polinômio monico que zera A é
m(\lambda)=(\lambda-1)^3.

Passo 4

Para achar o autoespaço de \lambda=1\) resolvemos \[(A-I)x=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 2x_2+3x_3=0,\\[4pt] 2x_3=0,\\[4pt] 0=0. \end{cases}
Da segunda equação vem x_3=0\]. Substituindo na primeira obtém-se \(x_2=0. Resta x_1 livre.
Portanto
E_1 = \ker(A-I)=\bigl\{(x_1,0,0)\mid x_1\in\mathbb{R}\bigr\} =\operatorname{span}\{(1,0,0)\},
e a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 1.]

Passo 5

Uma matriz é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica iguala a algébrica. Aqui temos para \lambda=1 multiplicidade algébrica 3 e geométrica 1, logo \text{\(A \emph{não} é diagonalizável.})

Resposta

(a) O único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 3.
(b) O polinômio mínimo é m(\lambda)=(\lambda-1)^3.
(c) O autoespaço de \lambda=1 é \operatorname{span}\{(1,0,0)\} e sua multiplicidade geométrica é 1.
(d) A não é diagonalizável.

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