Verifique se as aplicações a seguir são produtos internos nos espaços vetoriais indicados.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
definida em
é um produto interno. Para isso, lembramos que num espaço vetorial real um produto interno deve satisfazer as três propriedades seguintes:
- Simetria:
. - Bilinearidade: linearidade em cada argumento.
- Positividade definida:
, com igualdade se e só se .
Passo 2
Bilinearidade. Sejam
e
, com
Então
e
Como a definição é simétrica nos dois argumentos, a linearidade na segunda componente segue de forma idêntica.
Passo 3
Simetria. Pelo fato de o produto real ser comutativo,
Passo 4
Positividade definida. Para qualquer
,
temos
temos
Como soma de quadrados,
e
se e somente se , isto é,
é a matriz nula.
e
se e somente se
Resposta
A aplicação satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, logo é um produto interno em
.