Verifique se as aplicações a seguir são produtos internos nos espaços vetoriais indicados.
(d) \left\langle\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}e & f \\\ g & h\end{array}\right)\right\rangle=a \cdot e+b \cdot f+c \cdot g+d \cdot h

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
\bigl\langle A,B\bigr\rangle =a\,e + b\,f + c\,g + d\,h
definida em M_{2\times 2}(\mathbb{R}) é um produto interno. Para isso, lembramos que num espaço vetorial real um produto interno deve satisfazer as três propriedades seguintes:
  1. Simetria: \langle X,Y\rangle = \langle Y,X\rangle.
  2. Bilinearidade: linearidade em cada argumento.
  3. Positividade definida: \langle X,X\rangle \ge 0, com igualdade se e só se X=0.

Passo 2

Bilinearidade. Sejam A,B,C\in M_{2\times 2}(\mathbb{R}) e k\in\mathbb{R}, com
A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}e&f\g&h\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}u&v\x&y\end{pmatrix}.
Então
\langle A+B,\,C\rangle =(a+e)u + (b+f)v + (c+g)x + (d+h)y =\bigl(au+bv+cx+dy\bigr)+\bigl(eu+fv+gx+hy\bigr) =\langle A,C\rangle + \langle B,C\rangle
e
\langle kA,\,C\rangle =(ka)u+(kb)v+(kc)x+(kd)y =k\,(au+bv+cx+dy) =k\,\langle A,C\rangle.
Como a definição é simétrica nos dois argumentos, a linearidade na segunda componente segue de forma idêntica.

Passo 3

Simetria. Pelo fato de o produto real ser comutativo,
\langle A,B\rangle =ae + bf + cg + dh =ea + fb + gc + hd =\langle B,A\rangle.

Passo 4

Positividade definida. Para qualquer \displaystyle A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix},
temos
\langle A,A\rangle =a^2 + b^2 + c^2 + d^2.
Como soma de quadrados, \langle A,A\rangle\ge 0
e \langle A,A\rangle=0
se e somente se a=b=c=d=0, isto é, A é a matriz nula.

Resposta

A aplicação satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, logo é um produto interno em M_{2\times 2}(\mathbb{R}).

Exercícios relacionados